8-900-374-94-44
Для квадрата любой размерности n∙n минимальная магическая константа вычисляется по следующей формуле:
M = n(n2 + 1)/2
Для квадрата размера 3×3 минимально возможная магическая константа будет равна:
3(32 + 1)/2 = 3(9 + 1)/2 = 15
Подчеркнём, что 15 — это не единственно возможная магическая константа для квадрата 3×3, а константа, меньше которой других констант для этого квадрата быть не может.
Важное правило, которое вам пригодится при построении магического квадрата 3×3:
Число в центре квадрата 3×3 всегда в три раза меньше магической константы.
То есть, если у нас магическая константа M = 15, то в центре квадрата 3×3 будет стоять
15:3 = 5.
Для дальнейшего составления магического квадрата с магической константой M=15 расставьте по углам чётные числа 2,4,8,6.
Как видим, по сумма чисел на диагоналях квадрата равна 15, то есть магической константе.
Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС
Зная магическую константу и по два числа в ряду и столбце, мы можем вписать третье число в ряд и столбец. Определить это число очень просто — надо из магической константы вычесть два числа из ряда или столбца.
Применив этот метод, мы получим полностью заполненный магический квадрат:
Ещё одно важное правило построения магических квадратов:
Если у нас есть один магический квадрат, и мы все числа этого квадрата увеличим на одно и то же число или умножим на одно и то же число, то у нас опять получится квадрат. Это правило достаточно очевидно.
Пример 1. К числам в нашем магическом квадрате с M=15 прибавим 3 и 5
Как видим, у первого квадрата сумма чисел по вертикали, горизонтали и диагонали одинакова и составляет 24 (это и есть его магическая константа), а у второго квадрата магическая константа равна 30.
У этих двух квадратов число в центре по прежнему в три раза меньше, чем магическая константа (8 у первого квадрата и 10 у второго).
Пример 2. Числа нашего магического квадрата с M=15 умножим на 2 и на 3
Как видим, в первом случае, после умножения чисел на два, мы получили квадрат с магической константой 30 — та же самая константа, что и после того, как в первом примере мы увеличили все числа на 5. Но при этом, несмотря на то, что у этих двух магических квадратах одинаковые магические константы, числа при этом в клетках разные — а вот число в центральном квадрате одно и то же — это 10.
Так и должно быть, ведь, как было сказано выше, в магическом квадрате 3×3 число в центральной клетке должно быть в три раза меньше магической константы. Т.к. магическая константа у обеих магических квадратов одинаковая, то и центральное число одно и то же.
Задача 1.
Постройте магический квадрат с магической константой 39.
Зная магическую константу, мы легко найдём число, которое должно быть в центральной клетке — нужно магическую константу разделить на 3. 39:3 = 13.
Далее можно или подбирать числа (помня о том, что сумма чисел по диагонали, по горизонтали и по вертикали должна быть равна магической константе) или, для ускорения процесса, воспользоваться знанием чисел магического квадрата с минимальной магической константой M = 15.
ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
Напомним этот квадрат:
В центре этого квадрата — число 5. В центре того квадрата, который мы должны построить — число 13.
Разница между этими числами составляет 8. И, как следует из правила, которое мы написали выше, если все числа одного магического квадрата увеличить на одно и то же число, то получится другой магический квадрат.
Достаточно запомнить, что в центре минимального магического квадрата — 5, а по углам — чётные числа 2, 4, 6, 8.
Таким образом, нам надо увеличить эти числа на 8. Далее будет легко заполнить оставшиеся клетки (числа в них вычисляются как магическая константа минус числа в ряду или столбце).
В итоге получится вот такой квадрат:
Задача 2.
Достройте магический квадрат
В этом квадрате мы знаем число в центральной клетке (9), а, значит, мы знаем магическую константу, которая в 3 раза больше и равна 27. Ну а зная магическую константу и три первоначальных числа, вписать оставшиеся числа в клетки не составит труда.
Решение:
ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
Мы не будем подробно останавливаться на магических квадратах 4×4 — они почти не встречаются на математических олимпиадах и вступительных экзаменах в физматшколы, но общее представление о них дадим.