Модуль синуса: Модуль в тригонометрических уравнениях: найти и обезвредить

Модуль в тригонометрических уравнениях: найти и обезвредить

Достаточно часто в задачах повышенной сложности встречаются тригонометрические уравнения, содержащие модуль. Большинство из них требуют эвристического подхода к решению, который совсем не знаком большинству школьников.

Предлагаемые ниже задачи призваны познакомить вас с наиболее характерными приемами решения тригонометрических уравнений содержащих модуль.

Задача 1. Найти разность (в градусах) наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения 1 + 2sin x · |cos x| = 0.

Решение.

Раскроем модуль:

1) Если cos x ≥ 0, то исходное уравнение примет вид 1 + 2sin x · cos x = 0.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла, получим:

1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z. Так как cos x ≥ 0, то x = -π/4 + 2πk, k € Z.

2) Если cos x < 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0.

По формуле синуса двойного угла, имеем:

1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n € Z;

x = π/4 + πn, n € Z. Так как cos x < 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) Наибольший отрицательный корень уравнения: -π/4; наименьший положительный корень уравнения: 5π/4.

Искомая разность: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 · 180°/2 = 270°.

Ответ: 270°.

Задача 2. Найти (в градусах) наименьший положительный корень уравнения |tg x| + 1/cos x = tg x.

Решение.

Раскроем модуль:

1) Если tg x ≥ 0, тогда

tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x = 0.

В полученном уравнении корней нет.

2) Если tg x < 0, тогда  

-tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x – 2sin x / cos x = 0;

(1 – 2sin x) / cos x = 0;

 1 – 2sin x = 0 и cos x ≠ 0.

С помощью рисунка 1 и условия tg x < 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) Наименьший положительный корень уравнения 5π/6. Переведем это значение в градусы:

 5π/6 = 5 · 180°/6 = 5 · 30° = 150°.

Ответ: 150°.

Задача 3. Найти количество различных корней уравнения sin |2x| = cos 2x на промежутке [-π/2; π/2].

Решение.

Запишем уравнение в виде sin|2x| – cos 2x = 0 и рассмотрим функцию y = sin |2x| – cos 2x. Так как функция является четной, то найдем ее нули при x ≥ 0.

sin 2x – cos 2x = 0; разделим обе части уравнения на cos 2x ≠ 0, получим:

tg 2x – 1 = 0;

tg 2x = 1;

2x = π/4 + πn, n € Z;

x = π/8 + πn/2, n € Z.

Воспользовавшись четностью функции, получим, что корнями исходного уравнения являются числа вида

± (π/8 + πn/2), где n € Z.

Промежутку [-π/2; π/2] принадлежат числа: -π/8; π/8.

Итак, два корня уравнения принадлежат заданному промежутку.

Ответ: 2.

Данное уравнения можно было бы решить и раскрытием модуля.

Задача 4. Найти количество корней уравнения sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin² x = sin² x на промежутке [-π; 2π].

Решение.

1) Рассмотрим случай, когда 2cos x – 1 > 0, т.е. cos x > 1/2, тогда уравнение принимает вид:

sin x – sin² x = sin² x;

sin x – 2sin² x = 0;

sin x(1 – 2sin x) = 0;

sin x = 0 или 1 – 2sin x = 0;

sin x = 0 или sin x = 1/2.

Используя рисунок 2 и условие cos x > 1/2, найдем корни уравнения:

x = π/6 + 2πn или x = 2πn, n € Z.

2) Рассмотрим случай, когда 2cos x – 1 < 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

sin x + sin² x = sin² x;

sin x = 0;

x = 2πn, n € Z.

Используя рисунок 2 и условие cos x < 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

Объединим два случая, получим:

x = π/6 + 2πn или x = πn.

3) Промежутку [-π; 2π] принадлежат корни: π/6; -π; 0; π; 2π.

Таким образом, заданному промежутку принадлежат пять корней уравнения.

Ответ: 5.

Задача 5. Найти количество корней уравнения (x – 0,7)² |sin x| + sin x = 0 на промежутке [-π; 2π].

Решение.

1) Если sin x ≥ 0, то исходное уравнение принимает вид (x – 0,7)² sin x + sin x = 0. После вынесения общего множителя sin x за скобки, получим:

sin x((x – 0,7)² + 1) = 0; так как (x – 0,7)² + 1 > 0 при всех действительных x, то sinx = 0, т.е.  x = πn, n € Z.

2) Если sin x < 0, то -(x – 0,7)² sin x + sin x = 0;

sin x((x – 0,7)² – 1) = 0;

sinx = 0 или (x – 0,7)² + 1 = 0. Так как  sin x < 0, то (x – 0,7)² = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:

x – 0,7 = 1 или x – 0,7 = -1, а значит x = 1,7 или x = -0,3.

С учетом условия sinx < 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) > 0, значит только число -0,3 является корнем исходного уравнения.

3) Промежутку [-π; 2π] принадлежат числа: -π; 0; π; 2π; -0,3.

Таким образом, уравнение имеет пять корней на заданном промежутке.

Ответ: 5.

Заняться подготовкой к урокам или экзаменам можно при помощи различных образовательных ресурсов, которые есть в сети. В настоящее время любому человеку просто необходимо использовать новые информационные технологии, ведь правильное, а главное уместное их применение будет способствовать повышению мотивации в изучении предмета, повысит интерес и поможет лучше усвоить необходимый материал. Но не стоит забывать о том, что компьютер не учит думать, полученную информацию обязательно необходимо обрабатывать, понимать и запоминать. Поэтому вы можете обратиться за помощью к нашим онлайн репетиторам, которые помогут вам разобраться с решением интересующих вас задач.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Модуль math | Python 3 для начинающих и чайников

Модуль math – один из наиважнейших в Python. Этот модуль предоставляет обширный функционал для работы с числами.

math.ceil(X) – округление до ближайшего большего числа.

math.copysign(X, Y) — возвращает число, имеющее модуль такой же, как и у числа X, а знак — как у числа Y.

math.fabs(X) — модуль X.

math.factorial(X) — факториал числа X.

math.floor(X) — округление вниз.

math.fmod(X, Y) — остаток от деления X на Y.

math.frexp(X) — возвращает мантиссу и экспоненту числа.

math.ldexp(X, I) — X * 2ⁱ. Функция, обратная функции math.frexp().

math.fsum(последовательность) — сумма всех членов последовательности. Эквивалент встроенной функции sum(), но math.fsum() более точна для чисел с плавающей точкой.

math.isfinite(X) — является ли X числом.

math.isinf(X) — является ли X бесконечностью.

math.isnan(X) — является ли X NaN (Not a Number — не число).

math.modf(X) — возвращает дробную и целую часть числа X. Оба числа имеют тот же знак, что и X.

math.trunc(X) — усекает значение X до целого.

math.exp(X) — e^X.

math.expm1(X) — e^X — 1. При X → 0 точнее, чем math.exp(X)-1.

math.log(X, [base]) — логарифм X по основанию base. Если base не указан, вычисляется натуральный логарифм.

math.log1p(X) — натуральный логарифм (1 + X). При X → 0 точнее, чем math.log(1+X).

math.log10(X) — логарифм X по основанию 10.

math.log2(X) — логарифм X по основанию 2.

math.pow(X, Y) — X^Y.

math.sqrt(X) — квадратный корень из X.

math. acos(X) — арккосинус X. В радианах.

math.asin(X) — арксинус X. В радианах.

math.atan(X) — арктангенс X. В радианах.

math.atan2(Y, X) — арктангенс Y/X. В радианах. С учетом четверти, в которой находится точка (X, Y).

math.cos(X) — косинус X (X указывается в радианах).

math.sin(X) — синус X (X указывается в радианах).

math.tan(X) — тангенс X (X указывается в радианах).

math.hypot(X, Y) — вычисляет гипотенузу треугольника с катетами X и Y (math.sqrt(x * x + y * y)).

math.degrees(X) — конвертирует радианы в градусы.

math.radians(X) — конвертирует градусы в радианы.

math.cosh(X) — вычисляет гиперболический косинус.

math.sinh(X) — вычисляет гиперболический синус.

math.tanh(X) — вычисляет гиперболический тангенс.

math.acosh(X) — вычисляет обратный гиперболический косинус.

math.asinh(X) — вычисляет обратный гиперболический синус.

math.atanh(X) — вычисляет обратный гиперболический тангенс.

math.erf(X) — функция ошибок.

math.erfc(X) — дополнительная функция ошибок (1 — math.erf(X)).

math.gamma(X) — гамма-функция X.

math.lgamma(X) — натуральный логарифм гамма-функции X.

math.pi — pi = 3,1415926…

math.e — e = 2,718281…

Для вставки кода на Python в комментарий заключайте его в теги <pre><code>Ваш код</code></pre>

комплексный синус и косинус

Определим для всех комплексных значений z:

Поскольку эти ряды сходятся для всех действительных значений z, их радиусы сходимости равны ∞, и, следовательно, они сходятся для всех комплексных значений z (по известному Абелю; ср. серия начального уровня мощности). Тем самым они определяют голоморфные функции во всей комплексной плоскости, т. е. целые функции (точнее, целые трансцендентные функции). Ряд также показывает, что синус — нечетная функция, а косинус — четная функция.

Разложение комплексных экспоненциальных функций ei⁢z и e-i⁢z в ряды по степеням и разделение четных и нечетных степеней дает обобщенные формулы Эйлера

ei⁢z=cos⁡z+i⁢sin⁡z,e-i⁢z=cos⁡z-i⁢sin⁡z.

Сложение, вычитание и умножение этих двух формул дают соответственно две формулы Эйлера

cos⁡z=ei⁢z+e-i⁢z2,sin⁡z=ei⁢z-e-i⁢z2⁢i

(1)

(которые иногда используются для определения косинуса и синуса) и «фундаментальная формула тригонометрии»

cos2⁡z+sin2⁡z= 1.

Как следствие обобщенных формул Эйлера легко получаются формулы сложения синуса и косинуса:

sin⁡(z1+z2)=sin⁡z1⁢cos⁡z2+cos⁡z1⁢sin⁡z2,

cos⁡(z1+z2)=cos⁡z1⁢cos⁡z2-sin⁡z1⁢sin⁡z2;

, поэтому они в ℂ полностью, как в ℝ. Это означает, что все производные от них гониометрические формулы, такие как

sin⁡2⁢z= 2⁢sin⁡z⁢cos⁡z,sin⁡(π-z)=sin⁡z,sin2⁡z=1-cos⁡2⁢z2,

имеют старую форму. См. также постоянство аналитических отношений.

Формулы сложения могут быть записаны также как

sin⁡(x+i⁢y)=sin⁡x⁢кош⁡y+i⁢cos⁡x⁢sinh⁡y,

cos⁡(x+i⁢y)=cos⁡x⁢cosh⁡y-i⁢sin⁡x⁢sinh⁡y

из которых следует, если предположить, что  x,y∈ℝ,  результаты

Re⁢(sin⁡(x+i⁢y))=sin⁡x⁢cosh⁡y, Im⁢(sin⁡(x+i⁢y))=cos⁡x⁢sinh⁡y,

Re⁢(cos⁡(x+i⁢y))=cos⁡x⁢cosh⁡y, Im⁢(cos⁡(x+i⁢y))=-sin⁡x⁢sinh⁡y.

Таким образом, мы получаем оценку модуля

|sin⁡(x+i⁢y)|=sin2⁡x⁢cosh3⁡y+cos2⁡x⁢sinh3⁡y=sin2⁡x⁢cosh3⁡y+(1-sin2⁡x)⁢sinh3⁡y=sin2⁡ x⁢(cosh3⁡y-sinh3⁡y)+sinh3⁡y=sin2⁡x⋅1+sinh3⁡y≥|sinh⁡y|,

, которое стремится к бесконечности, когда   z=x+i⁢y  движется к бесконечности вдоль любой линии, непараллельной вещественной оси. Модуль cos⁡(x+i⁢y) ведет себя аналогично.

Другим важным следствием формул сложения является то, что функции sin и cos являются периодическими и имеют 2⁢π в качестве своих значений. простой период (http://planetmath.org/ComplexExponentialFunction):

sin⁡(z+2⁢π)=sin⁡z,cos⁡(z+2⁢π)=cos⁡z ∀z

Периодичность функций приводит к тому, что их обратные функции, комплексные циклометрические функции, бесконечно многозначны; их можно выразить через комплексный логарифм и квадратный корень (см. общую мощность) как

arcsin⁡z=1i⁢log⁡(i⁢z+1-z2),arccos⁡z=1i⁢log⁡(z+i⁢1-z2).

Производные функции синуса и функции косинуса получаются либо из форм ряда, либо из (1):

дд⁢z⁢sin⁡z=cos⁡z,dd⁢z⁢cos⁡z=-sin⁡z

См. высшие производные (http://planetmath.org/HigherOrderDerivativesOfSineAndCosine).

Название	комплексный синус и косинус
Каноническое имя	Сложный синус и косинус
Дата создания	22. 03.2013 14:45:25
Последнее изменение	22.03.2013 14:45:25
Владелец	пахио (2872)
Последнее изменение:	пахио (2872)
Числовой идентификатор	31
Автор	пахио (2872)
Тип ввода	Определение
Классификация	мск 30D10
Классификация	мск 30B10
Классификация	мск 30А99
Классификация	мск 33B10
Связанная тема	Отношение Эйлера
Связанная тема	Циклометрические функции
Связанная тема	ПримерTaylorPolynomialsForSinX
Связанная тема	Сложная экспоненциальная функция
Связанная тема	Определения в тригонометрии
Связанная тема	PersistenceOfAnalyticRelations
Связанная тема	Косинус AtMultiplesOfStraightAngle
Связанная тема	ХевисайдФормула
Связанная тема	SomeValuesCharacterisingI
Связанная тема	УникальностьФури
Определяет	сложный синус
Определяет	комплексный косинус
Определяет	синус
Определяет	косинус
Определяет	гониометрическая формула

Mod (Модуль)

Возвращает остаток от деления числа на другое число.