ΠΠ΅ΡΠ½ΡΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠΏΠΈΡΠΊΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² Π±Π»ΠΎΠ³Π°
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΎΡΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π·Π°ΡΡΠΈΠ²Π°Π»ΠΈ Π²ΡΠ΅. ΠΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ «ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ» ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ «ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½», ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΡΠΌ. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π² ΠΏΡΡΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ·ΠΈΠ½Ρ ΡΠΏΠ΅ΡΠ²Π° Π΄Π²Π° ΡΠ±Π»ΠΎΠΊΠ°, Π° ΠΏΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ ΡΠΏΠ΅ΡΠ²Π° ΡΡΠΈ ΡΠ±Π»ΠΎΠΊΠ°, Π° ΠΏΠΎΡΠΎΠΌ Π΄Π²Π° β ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ±Π»ΠΎΠΊ Π² ΠΊΠΎΡΠ·ΠΈΠ½Π΅ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ: Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΡΡ ΡΡΡΠΊ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π½Π° ΡΠ²ΠΎΡΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅.
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π³ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°ΡΡ Π½Π΅Π·ΡΠ±Π»Π΅ΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°. ΠΠ°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠ΅ ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ: Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΡΠΌΠΈ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²ΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΌΠΌΡ:
$$ \boldgreen{S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\ldots} $$
Π ΡΠ»ΠΎΠ²Ρ, ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΠΌ ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΡΠ²Π½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΠΎΡΡΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΈ: \(1-\frac{1}{2}\gt{0}\), \(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\gt{0}\) ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π½Π° 2:
$$ \boldblue{\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\frac{1}{14}-\frac{1}{16}+\frac{1}{18}-\frac{1}{20}+\ldots} $$
Π‘Π°ΠΌΡΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π³: ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π·Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΠΈΠ½Π΅Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ \(\frac{1}{2}\) ΠΈ \(-\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{6}\) ΠΈ \(-\frac{1}{6}\) ΠΈ Ρ.Π΄. ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΡΡΡΡ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ \(S+\frac{1}{2}S=\frac{3}{2}S\), ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
$$ \boldpurple{\frac{3}{2}S=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{8}+\ldots} $$
Π ΡΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°? Π Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΌΡ ΡΡ ΠΆΠ΅ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠΌΠΌΡ β ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠΌΠΈ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΌΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ, Ρ.Π΅. ΠΎΡΡΠ°Π½Π΅ΡΡΡ Π²ΡΡ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ \(S\).
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π²ΡΠ΅Ρ
ΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π½ΡΡ
ΡΡΡΠ΄ΠΎΠ² Ρ Π½Π°Ρ Π²ΡΡΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅Π½ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\frac{3}{2}S=S\), ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ \(S=0\). ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΉΡΠ΅: Π²ΡΡΠ΅ ΠΌΡ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ \(S\gt{0}\)! ΠΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ \(S=0\) ΠΎΡΠΈΠ±ΠΎΡΠ΅Π½, Ρ.
Π ΡΡΠ° ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠ° ΠΏΡΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π΅Ρ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π΅ΡΡ: Π² ΡΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅, Π³Π΄Π΅ ΠΌΡ ΡΠ΅ΡΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΎΡΡΠ°Π½Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅. ΠΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ, Π²Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΌΠΌ, ΠΏΠ°ΡΡΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ΄ΡΡ ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠΉΡΠ΅ Ρ ΠΎΡΡ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠ°ΡΠ΄ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ , Π½ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, β ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ Π½ΡΠ°Π½ΡΡ π
ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»ΡΠ±ΠΈΡΡΡΡ Π² ΠΊΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, ΡΠΎ ΡΡΠΈ Π½ΡΠ°Π½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΡΠ΅Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π°, ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΡ (ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΡΡ
ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΡΡΠ΄Ρ), ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π±Ρ Π½ΠΈ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ \(A\), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½Π° ΡΡΠ°Π½Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠΈΡΠ»Ρ \(A\). Π’.Π΅. Π±Π°Π½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΡΡΠ°Π»Π° ΡΠ°Π²Π½Π°
ΠΡΠ΅ Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½ΠΎ, ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΌΡ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΊΡΡΠΊΠΈ ΠΈΠ· ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ ΡΡΠΎΡΠ»Π° Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΄Π²Π΅ ΠΊΡΡΠΊΠΈ. ΠΠΎ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, ΠΌΡ Ρ
ΠΎΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π΅ Π΄Π²Π΅, Π° Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΡΡΠ΅ΠΊ. ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ: ΡΠ³ΡΠ΅Π±Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ
Π²ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π·Ρ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΡΡ ΠΊΡΡΡ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ Π² Π½Π΅ΠΉ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ½Π΅ΡΡ. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌ Π±Ρ Π±ΡΠ» Ρ
ΠΎΡΠΎΡ, Π΄Π° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½ΠΈ Π½Π° ΡΡΠ΅ΡΠ°Ρ
, Π½ΠΈ Π½Π° Π±ΡΠΌΠ°Π³Π΅ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ. ΠΠ° ΡΡΠ΅ΡΠ°Ρ
ΠΈ Π±ΡΠΌΠ°Π³Π΅ ΠΌΡ ΡΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π²Π° ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ³ΡΠ΅Π±Π°ΡΡ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π·Ρ Π²ΡΠ΅ ΠΊΡΡΠΊΠΈ, Π° ΠΏΠΎΡΡΡΠΏΠΈΠΌ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΠ΅ Π½Π°ΡΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½Π΅ΡΡΠΈ Π½Π° Π±ΡΠΌΠ°Π³Ρ.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΡΡΠ΅ΠΊ ΠΈΠ· ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ. ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΊΡΡΠΊΠ΅, ΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ Ρ
ΠΎΡΠΈΠΌ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ Π½Π°Ρ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ
ΠΊΡΡΠΊΠ°Ρ
. ΠΡ Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ Π΄Π²Π΅ ΠΊΡΡΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ
Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΊΡΡΠΊΡ ΠΏΠΎΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅. Π£ΠΌΠ΅Ρ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° Π±ΡΠΌΠ°Π³Π΅, ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Ρ Π½Π°Ρ ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ Π² Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΡΡΠΊΠ΅ Π±Π΅Π· ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡ
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΡΠ°. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Ρ Π½Π°Ρ ΡΡΠ°Π»ΠΎ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΊΡΡΠΊΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅. ΠΠ°Π»Π΅Π΅, Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π΅ΡΠ΅ Π΄Π²Π΅ ΠΊΡΡΠΊΠΈ, ΡΠ»ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ
Π²ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎ, Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ Π² ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡΡΠΊΠ΅ ΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΡΡΠ΅ΠΊ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρ. ΠΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΡ, ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Ρ Π²ΡΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ°Π· ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΊΡΡΠ΅ΠΊ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ, Π΄ΠΎ ΡΠ΅Ρ
ΠΏΠΎΡ ΠΏΠΎΠΊΠ° Ρ Π½Π°Ρ Π½Π΅ ΠΎΡΡΠ°Π½Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½Π°-Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΊΡΡΠ°. Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΊΡΡΠ΅ Π½Π°ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° Π±ΡΠΌΠ°Π³Π΅, Π° Π½Π΅ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ.
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ, ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°Π»ΠΈ ΠΊΡΡΠΊΠΈ. Π Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΡΠΈΡΠ΅Π», Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,
$8 + 9 + 2$,
ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ Π΅Π΅ ΡΠΎΠΆΠ΅ Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π΅Π½. Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π²Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²ΠΎΡΡΠΌΠ΅ΡΠΊΡ ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΡ, Π° ΠΏΠΎΡΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ Π΄Π΅Π²ΡΡΠΊΡ:
$8 + 2 + 9 = 10 + 9 = 19$.
ΠΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ·ΡΠΊΒ β ΡΡΠΎ ΡΠ·ΡΠΊ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ». Π‘ΠΏΡΠ°ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ: Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠΌ? ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ (ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅, Π½Π° ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ·ΡΠΊΠ΅, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ):
$a + b = b + a$.
ΠΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π»ΠΈ ΠΌΡ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡΡ Π½Π° ΡΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ, Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ
$8 + 9 + 2 = 8 + 2 + 9$,
ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π΅Π²ΡΡΠΊΡ ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΡ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠΎΠΌΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ $a$ ΠΈ $b$? ΠΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, Π½Π΅Ρ, Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ. ΠΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ, ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ
$8 + 9 + 2$.
ΠΡΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΡΠ°Π½ΡΡΠ΅ Π΄ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ, Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΡΡ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ
$(8 + 9) + 2$.
ΠΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π²Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Π΄ΡΡΠ³ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π°. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
$(8 + 9) + 2 = (9 + 8) + 2$,
ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΠΊ:
$(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9)$,
ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΊ:
$(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9) = 2 + (9 + 8)$,
ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΠΎΡΡΠΌΠ΅ΡΠΊΠ° Π²Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π»Π°ΡΡ Ρ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΎΠΉ, Π° ΠΏΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΠ»Π°ΡΡ Π΄Π΅Π²ΡΡΠΊΠ°. ΠΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΡΡΠΊΡ $a$ ΠΏΡΠΈΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡΡΡ ΠΊ ΠΊΡΡΠΊΠ΅ $b$, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ, ΠΊΡΡΠΊΡ $b$ ΠΏΡΠΈΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡΡΡ ΠΊ ΠΊΡΡΠΊΠ΅ $a$, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΏΠ°ΡΡ ΠΊΡΡΠ΅ΠΊ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΈΡ.
ΠΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π±ΡΡΡ? ΠΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ± Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ (Π½Π° ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ·ΡΠΊΠ΅ ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ):
$(a + b) + c = a + (b + c)$.
ΠΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΡΠ΅ΠΊ. ΠΠΏΡΠΎΡΠ΅ΠΌ, Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ. ΠΡ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
$(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2)$.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ°Π½ΡΡΠ΅ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠΏΠ΅ΡΠ²Π° ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ Π²ΠΎΡΡΠΌΠ΅ΡΠΊΡ ΠΈ Π΄Π΅Π²ΡΡΠΊΡ, ΡΠΎ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΄Π΅Π²ΡΡΠΊΡ ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΡ. ΠΠΎ ΡΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π²ΠΎΠ²ΡΠ΅ Π½Π΅ ΡΠΎ, ΠΊ ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΡ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΠΌΡΡ!
ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΡΡΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π·Ρ. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΡΠ»ΠΈ ΠΊ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
$(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2)$.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π΅Π²ΡΡΠΊΡ ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΡ:
$8 + (9 + 2) = 8 + (2 + 9)$.
ΠΠ°Π»Π΅Π΅, ΡΠ½ΠΎΠ²Π° Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡΡ:
$8 + (2 + 9) = (8 + 2) + 9$.
Π Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:
$(8 + 2) + 9 = 8 + 2 + 9$.
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΡΡΠΈΠ»ΠΈΠΉ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΈ Π±Π΅Π· ΡΠΎΠ³ΠΎ Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π±ΡΠ» ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΡΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ? Π Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,
$1 + 8 + 5 + 2 + 9$,
Π½Π°ΠΌ ΡΠΎΠΆΠ΅ Π½Π°Π΄ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ? Π Π°Π·Π²Π΅ ΠΌΡ Π½Π΅ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π² ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:
$(9 + 1) + (8 + 2) + 5$?
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡΡ ΡΠ΅Π·ΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΈ Π² Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ.
ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΡΠΆ ΡΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°: ΡΡΠ΅Π½ΡΠ΅-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π²Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ Π²Π²ΠΎΠ΄ΡΡ Ρ
ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΌΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, Π° ΠΏΠΎΡΠΎΠΌ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΡΠ½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡ. ΠΡΡΠ³ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΎ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΌ Ρ Π²Π°ΠΌΠΈ (ΠΏΠΎΠΊΠ° Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ ΡΡΠ΅Π½ΡΠΌ), Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ Ρ
ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π² ΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅. Π― Π±Ρ ΠΈ Π½Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π» Π²Π°ΠΌ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΠΈ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ, Π΄Π° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ
ΡΡΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° (ΠΏΡΠ°Π²Π΄Π°, ΠΏΠΎΠ΄ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ) Π²ΡΠΏΠΈΡΠ°Π½Ρ ΠΆΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠΈΡΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΠ±Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ°ΠΌΠΎΡΠΊΡ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΡΠΎΠ»ΠΊΠΎΠΌ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ, Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ Π½ΡΠΆΠ½Ρ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ
ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»Π΅ΡΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ, ΡΡΠΎ, Π² ΡΠ²ΠΎΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ Π½Π΅ΠΏΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΌ Π½Π° ΡΡΡΠ½ΡΡ
ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ°Ρ
ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ
ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Ρ
.
Π’Π°ΠΊ Π²ΠΎΡ: Π½ΡΠΆΠ½Ρ ΡΡΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΌΡ Π½Π° Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π½ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ . Π Π°Π·ΡΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ, ΠΌΡ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π²ΡΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ°Π· ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°Π³ Π·Π° ΡΠ°Π³ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ². ΠΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅:
ΠΠ· ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π² ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ΅, Π²ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π² Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅.
ΠΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΡ, Π½ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ Π½Π΅ ΡΡΠ°Π½Π΅ΠΌ, Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ, ΡΡΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, Π½Π° Π²Π΅ΡΡ. ΠΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅-ΡΠΎ, Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Π½ΡΠ΅-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΡΡ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ, Π½ΠΎ ΠΌΡ Ρ Π²Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ° ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Π½ΡΠ΅.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π½Π°ΠΌ ΠΎΡΡΠ°Π»ΠΎΡΡ ΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡΡ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ. ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π±ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ. Π‘ΠΏΡΠ°ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ: Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΡΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ?
Π Π°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΊΡΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΠ΅Π±Π΅ ΠΊΡΡΠΊΡ Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ. ΠΠΎ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π° ΡΡΠΎΡ ΡΠ°Π· Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ. Π£ Π½Π°Ρ ΡΠΆΠ΅ Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΎΠΏΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, ΠΈ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΡΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ Π½ΠΈΡ
ΡΠΎΡ
ΡΠ°Π½ΡΡΡΡΡ. Π Π°Π·ΡΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ, Π½Π°Ρ ΠΎΠΏΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½: Π²Π΅Π΄Ρ ΠΌΡ ΠΆΠ΅ Π½Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΈΡΠ°Π»ΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ
Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΉ Ρ ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ. Π’Π°ΠΊ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΌΠ½Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΡΡΠΎΡ ΡΡΠ΅Ρ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ°Π²Π΄Π°Π½Ρ, ΠΈ ΡΠΎΡ, Ρ ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ°ΡΡ ΠΎΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Ρ Π½Π΅ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡ Π½Π° ΡΡΠΎ ΡΠ»ΠΈΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠΆ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ° Π΅ΡΠ΅ Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌΡ Π½Π΅ ΡΠ΄Π°Π²Π°Π»ΠΎΡΡ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΎΡΠ½Π΅ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊ ΡΠ°ΠΊΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΈ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ
ΡΠ΅Π»ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π»; ΠΈ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ· Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ (ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΡΡ) ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΡΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ Π²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½Π° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΡ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ
Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½Ρ, ΠΊΡΡΠ°ΡΠΈ, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠΌΠΌΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
$5 — 3 = 5 + (-3)$,
$5 — (4 — 1) = 5 + (-4) + 1$.
ΠΠΎΠ½ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ
ΠΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΠ΅Π»ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ· Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ
, ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ. ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ Π·Π΄Π΅ΡΡ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠΈ
2.6.1. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ:
$24 + 15 + 6$
$9 + 43 + 11$
$12 + 16 + 8 + 4$
$35 + 33 + 15 + 7$
ΠΈ Ρ.ΠΏ.
2.6.2. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ:
$63 + 29 — 3$
$38 + 14 — 8$
$25 — 17 — 15 + 37$
$190 — 3 — 90 + 13$
$-23 + 69 + 33 — 9$
ΠΈ Ρ.ΠΏ.
2.6.3. ΠΠ°Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠ° Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ , Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅.
a) $87 — (5 + 7)$
b) $87 — (5 — 7)$
a) $58 + (6 — 2)$
b) $58 + (2 — 6)$
ΠΈ Ρ.ΠΏ.
2.6.4. Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ:
$10 + x + 23$
$-13 — (x — 2) + 43$
$x — 4 + 15 — 6 — (x + 1)$
ΠΈ Ρ.ΠΏ.
ΠΠ· Β«Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎΒ» ΡΠ±ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠΈΠΏΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π² ΡΡΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ
Π Π°ΡΠΊΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΎΠΊ Π² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΈΠΏΠ° (a Β± b) Β± (c Β± d)
Β
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΡΠΈ ΠΈΡ
ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 4 + 5 Π΄Π°Π΅Ρ 9, Π° 5 + 4 ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ 9. ΠΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» Π½Π΅ Π²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΡ. Π’Π° ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠ° ΠΈ ΠΊ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠΈΡΠ΅Π».
1. | Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π°Ρ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ? |
2. | ΠΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ |
3. | ΠΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ |
4. | ΠΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° |
5. | Π§Π°ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ |
Π‘Π»ΠΎΠ²ΠΎ Β«ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΉΒ» ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΎΡ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° Β«ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡΒ», ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡΡΡΡ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ΅Π». Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°Π½Π΄ΠΎΠ² Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ, ΡΠΎ ΡΡΠ° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ. ΠΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΈΡΠ΅Π»: Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ, Π΄ΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΠΈ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ. ΠΠ½ΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΡΠ°ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π°Π½Ρ Π΄Π²Π° ΡΠΈΡΠ»Π° A ΠΈ B, ΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΈΡΠ΅Π» Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π³Π»Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΡΠΈ ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ Π²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½Π° ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ. ΠΠΎ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΡΠ±ΡΡ Π΄Π²ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π²Π°ΠΆΠ΅Π½ ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ
Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Β«AΒ» ΠΈ Β«BΒ» β Π΄Π²Π° ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π°Π½Ρ Π΄Π²Π° ΡΠΈΡΠ»Π° 10 ΠΈ 13, ΡΠΎ 10 + 13 = 23 ΠΈ 13 + 10 = 23. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, 10 + 13 = 13 + 10,
ΠΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΌΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° ΡΠΈΡΠ»Π°, Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΡΠ»ΠΈ 4 ΠΈ 6 ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠΎ 4 Γ 6 = 24, Π° 6 Γ 4 ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 24. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, 4 Γ 6 = 6 Γ 4. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅: Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΠΈΡΠ»Π° 6 ΠΈ 2.
ΠΡΡΡ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΈΡΠ΅Π»: Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΠΎΡΡΡ, ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ, Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ ΡΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ. Π Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅, ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π½Π΅ Π²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½Π° ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠ°ΠΊ, Π² ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ? ΠΠ°Π²Π°ΠΉ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΠΌ.
ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°.
ΠΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ | ΠΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ |
---|---|
ΠΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΎΡ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° Β«ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡΒ», ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡΡΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ°. | ΠΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΎΡ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° Β«Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡΒ», ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΡΠ΅Π».![]() |
ΠΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π±Π΅Π· ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ°. | ΠΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ° ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π° Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π±Π΅Π· ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ°. |
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π°: Π + Π = Π + Π Π Γ Π = Π Γ Π | Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π°: Π + (Π + Π‘) = (Π + Π) + Π‘ = (Π + Π‘) + Π Π Γ (Π Γ Π‘) = (Π Γ Π) Γ Π‘ = (Π Γ Π‘) Γ Π |
ΠΠ°ΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ:
ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
β ΠΠΎΡ ΠΎΠΆΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΡ
ΠΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡΡΠ΅ΡΡ Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ°ΡΡΡΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅.
Cuemath β ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π²Π΅Π΄ΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΡΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΠ»Π°ΡΡΠΎΡΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π² ΡΠ΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² K-12. ΠΠ°ΡΠ° ΠΌΠΈΡΡΠΈΡ β ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅ΡΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ°ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡ ΠΈΠΌ ΠΏΡΠ΅ΡΡΠΏΠ΅ΡΡ Π² ΡΠΊΠΎΠ»Π΅ ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΡΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ . ΠΠ°ΡΠΈ ΠΎΠΏΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ 2 ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΆΠΈΠ²ΡΡ Π·Π°Π½ΡΡΠΈΠΉ Π² Π½Π΅Π΄Π΅Π»Ρ Π² ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π½ΠΎΡΡΡΠΌ ΡΠ΅Π±Π΅Π½ΠΊΠ° Π² ΠΎΠ±ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ.
Β
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1: ΠΠ°ΡΡ ΠΠΆΠ΅ΠΊΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Π° Π΅Π³ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π»ΠΈ Π²Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡ ΠΠΆΠ΅ΠΊΠΈ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π³Π»Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ
Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2: ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΏΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 132 Γ 121 = ___ Γ 132.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠΈΡΠ»Π° x ΠΈ y, ΡΠΎ x Γ y = y Γ ΠΠΊΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎ ΠΎΠ±Π½Π°ΡΡΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π·Π΄Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ x = 132, Π° y = 121, ΡΠΎ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ 132 Γ 121 = 121 Γ 132.
β΄ ΠΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΡΠ΅Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 121.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3: Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ.
«ΠΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 12 Π½Π° 4 ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ.»
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ ΡΡΠΎ.
β΄ ΠΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ.
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄ΡΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄ΡΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄Ρ
Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ Π²ΠΈΠ·ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ².
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ, ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π²ΠΈΠ·ΡΠ°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΉ.
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π° Π±Π΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ±Π½ΡΠΉ ΡΡΠΎΠΊ
Β
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄ΡΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄Ρ
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π³Π»Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 6 + 7 ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 13 ΠΈ 7 + 6 ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 13. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, 6 Γ 7 = 42 ΠΈ 7 Γ 6 = 42.
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 3 + 9= 9 + 3 = 12.
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 4 Γ 5 ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 20, Π° 5 Γ 4 ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 20. Π₯ΠΎΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΡΡ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 20.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ°. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 5 — 2 ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 3, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ 2 — 5 Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 3. Π’ΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ 10, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 2, Π΄Π°Π΅Ρ 5, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ 2, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 10, Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ 5. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π³Π»Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π΄Π²ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» Π² ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ, Π½ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ A + B = B + A. ΠΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ A Γ B = B Γ A. ΠΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΡΡΠ΅Ρ
ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ, Π½ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ: (A + B) + C = A + (B + C) = (A + C) + B. ΠΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ (A Γ B) Γ C = A Γ (Π Γ Π‘) = (Π Γ Π‘) Γ Π.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π³Π»Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠΈΡΠ΅Π» Π² ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Β«AΒ» ΠΈ Β«BΒ» ΡΠ°Π²Π½ΠΎ A + B = B + A. Π Π°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ . Π§ΠΈΡΠ»Π° Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ. Π Π°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Β«ΠΒ», Β«ΠΒ»: Π(Π + Π‘) = ΠΠ + ΠΠ‘.
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ΄Π΅Ρ ΠΎ Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΡΡΠ΅Ρ
ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ, Π° Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ. ΠΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ ΠΊ Π΄Π²ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌ ΠΈ Π³Π»Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΠΈ Π΄Π²Π° ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΏΡΠΈ ΠΈΡ
ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π±Π΅Π· ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ°.
Π ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ , ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π½Π΅ Π²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π½Π°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ — ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΊΠΈ, ΠΈΠ³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΈ Ρ. Π΄. ΠΠ°ΠΉΡΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠ΅ΠΌΡΡΡ 3 ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π°ΠΉΡΠ΅ Π΅ΠΌΡ/Π΅ΠΌΡ Π΅ΡΠ΅ 5 ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ². ΠΠΎΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ Π΅Π΅/Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ². ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Ρ 5 ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Ρ 3 ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΡΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π°ΡΡ ΡΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΈΡ Π»ΠΈΡΡΠΎΠ² ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ β ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π³Π»Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ (A + B = B + A). ΠΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π³Π»Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ (A Γ B = B Γ A).
ΠΠ°Π΄Π°Π²Π°ΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ 9\infty A_i}a_n$$ ΠΠ΄Π΅ΡΡ $A_i$ β Π½Π΅ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», Π° $a_n$ β Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ, Π½ΠΎ Ρ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²Π΅ΡΠΊΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ. ΠΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΌ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ $a_n$ Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Ρ. ΠΠΎΠΉ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ: ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ ΠΌΠΎΠ³Ρ ΠΎΠΏΡΠ°Π²Π΄Π°ΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΌΠΌ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ ΡΡΠΎΠΌΡ?
$\endgroup$
2
$\begingroup$
9\infty |a_n|<\infty$, β ΡΠΎ ΡΡΠ΄ ΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΈ ΡΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ Π²Ρ Π½ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ»ΠΈ ΡΠ»Π΅Π½Ρ.