8-900-374-94-44
[email protected]
Slide Image
МСню

ΠžΡ‚ пСрСстановки мСст слагаСмых сумма Π½Π΅ мСняСтся: ΠžΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ мСст слагаСмых сумма Π½Π΅ мСняСтся?

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠžΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ мСст слагаСмых сумма Π½Π΅ мСняСтся?

Π’Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ списку ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² Π±Π»ΠΎΠ³Π°

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ пСрСстановкС слагаСмых сумма остаётся Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π·Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ²Π°Π»ΠΈ всС. Π­Ρ‚ΠΎ свойство Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ «ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ» ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ «ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½», ΠΈ каТСтся ΠΎΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ссли ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΡƒΡΡ‚ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΡ€Π·ΠΈΠ½Ρƒ спСрва Π΄Π²Π° яблока, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€ΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ спСрва Ρ‚Ρ€ΠΈ яблока, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ Π΄Π²Π° – число яблок Π² ΠΊΠΎΡ€Π·ΠΈΠ½Π΅ Π½Π΅ измСнится: всС ΠΏΡΡ‚ΡŒ ΡˆΡ‚ΡƒΠΊ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½Π° своём Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌ мСстС.

Однако ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ слСгка ΠΏΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅Π·Ρ‹Π±Π»Π΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ этого ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°. Нам понадобятся всСго лишь ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ свСдСния ΠΈΠ· ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ: дСйствия с дробями. Рассмотрим Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ сумму:

$$ \boldgreen{S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\ldots} $$

К слову, такая сумма называСтся числовым рядом. Записанная сумма явно большС нуля. ΠŸΠΎΡΡƒΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ сами: \(1-\frac{1}{2}\gt{0}\), \(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\gt{0}\) ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π΅ части записанного Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ равСнства Π½Π° 2:

$$ \boldblue{\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\frac{1}{14}-\frac{1}{16}+\frac{1}{18}-\frac{1}{20}+\ldots} $$

Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΉ послСдний шаг: слоТим Π·Π΅Π»Ρ‘Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ синСС равСнства. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ слагаСмыС \(\frac{1}{2}\) ΠΈ \(-\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{6}\) ΠΈ \(-\frac{1}{6}\) ΠΈ Ρ‚.Π΄. сократятся. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ \(S+\frac{1}{2}S=\frac{3}{2}S\), Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

$$ \boldpurple{\frac{3}{2}S=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{8}+\ldots} $$

И Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ равСнства? А Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΌΡ‹ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ сумму – Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с пСрСставлСнными слагаСмыми. Однако ΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ мСст слагаСмых сумма Π½Π΅ измСнится, Ρ‚.Π΅. останСтся всё Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ \(S\).

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, послС всСх ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΠ² Ρƒ нас Π²Ρ‹ΡˆΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅Π½ΡŒΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\frac{3}{2}S=S\), ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ \(S=0\). Однако постойтС: Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΌΡ‹ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(S\gt{0}\)! Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ \(S=0\) ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π΅Π½, Ρ‚.

Π΅. нСсмотря Π½Π° всю ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, Π³Π΄Π΅-Ρ‚ΠΎ имССтся грубая ошибка.

И эта ошибка прячСтся ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ мСньшС всСго Π΅Ρ‘ оТидаСшь: Π² Ρ‚ΠΎΠΌ мСстС, Π³Π΄Π΅ ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ пСрСстановки слагаСмых сумма останСтся Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ свойство, Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ для ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… сумм, пасуСт, Ссли Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ΄Ρ‘Ρ‚ ΠΎ бСсконСчности. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠΉΡ‚Π΅ Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠ°Ρ€Π΄ слагаСмых, Π½ΠΎ сумма Π½Π΅ помСняСтся, – ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½Π° бСсконСчности Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ Π½ΡŽΠ°Π½ΡΡ‹ πŸ™‚

Если Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² курс матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Ρ‚ΠΎ эти Π½ΡŽΠ°Π½ΡΡ‹ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΠ΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π°, согласно ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ бСсконСчныС суммы (условно сходящиСся ряды), Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π±Ρ‹ Π½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ число \(A\), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ слагаСмыС этой суммы, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° станСт Ρ€Π°Π²Π½Π° числу \(A\). Π’.Π΅. банальной пСрСстановкой чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ сумма стала Ρ€Π°Π²Π½Π°

Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ Π½Π°ΠΏΠ΅Ρ€Ρ‘Π΄ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ числу! К слову, Π΄Π°ΠΆΠ΅ бСсконСчности πŸ™‚

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°. ΠžΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ мСст слагаСмых сумма Π½Π΅ измСняСтся

Π•Ρ‰Π΅ Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½ΠΎ, ΡƒΡ‡Π°ΡΡŒ слоТСнию чисСл, ΠΌΡ‹ складывали ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈΠ· ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ‚. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ стояла Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΠΈ. Но допустим, ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ Π΄Π²Π΅, Π° нСсколько ΠΊΡƒΡ‡Π΅ΠΊ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ: сгрСбаСм ΠΈΡ… всС сразу Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΠΊΡƒΡ‡Ρƒ ΠΈ пСрСсчитываСм Π² Π½Π΅ΠΉ всС ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ‚Ρ‹. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ способ слоТСния всСм Π±Ρ‹ Π±Ρ‹Π» Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆ, Π΄Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½ΠΈ Π½Π° счСтах, Π½ΠΈ Π½Π° Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Π΅ нСльзя ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ. На счСтах ΠΈ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π²Π° числа. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ³Ρ€Π΅Π±Π°Ρ‚ΡŒ вмСстС сразу всС ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΠΈ, Π° поступим Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ всС наши дСйствия ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ пСрСнСсти Π½Π° Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Ρƒ.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ нСсколько ΠΊΡƒΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈΠ· ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ‚. ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, сколько ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ‚ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, сколько ΠΆΠ΅ Ρƒ нас всСго ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ‚ Π²ΠΎ всСх ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΠ°Ρ…. ΠœΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π΅ ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ сдвигаСм ΠΈΡ… вмСстС, образуя ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΡƒ побольшС. УмСя ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° числа Π½Π° Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Π΅, ΠΌΡ‹ смоТСм Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, сколько Ρƒ нас ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ‚ Π² Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΠ΅ Π±Π΅Π· фактичСского ΠΈΡ… пСрСсчСта. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρƒ нас стало Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΡƒ мСньшС. Π”Π°Π»Π΅Π΅, Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ Π΄Π²Π΅ ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΠΈ, сливаСм ΠΈΡ… Π²ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎ, вычисляСм Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ число ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, снова ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅ΠΌ количСство ΠΊΡƒΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ. ΠœΡ‹ повторяСм ΠΈ повторяСм эту ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρƒ, ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Ρ всякий Ρ€Π°Π· число ΠΊΡƒΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ, Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€ ΠΏΠΎΠΊΠ° Ρƒ нас Π½Π΅ останСтся ΠΎΠ΄Π½Π°-СдинствСнная большая ΠΊΡƒΡ‡Π°. Число ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ‚ Π² этой ΠΊΡƒΡ‡Π΅ Π½Π°ΠΌ извСстно, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ вычислили ΠΌΡ‹ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Π΅, Π° Π½Π΅ прямым пСрСсчСтом.

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ порядкС ΠΌΡ‹ сдвигали ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΠΈ. А Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ находится сумма чисСл, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,

$8 + 9 + 2$,

ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π² любом порядкС. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ порядок, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ для нас Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π΅Π½. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π²Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΡΡŒΠΌΠ΅Ρ€ΠΊΡƒ ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΡƒ, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ дСвятку:

$8 + 2 + 9 = 10 + 9 = 19$.

Но матСматичСский язык — это язык строгих ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ». Π‘ΠΏΡ€Π°ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ: Π½Π° основании ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ порядок вычислСний ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ суммы Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… слагаСмым? ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, свойство коммутативности (ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅, Π½Π° школьном языкС, называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ свойством слоТСния):

$a + b = b + a$.

МоТСм Π»ΠΈ ΠΌΡ‹, ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΡΡΡŒ Π½Π° это свойство, Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ

$8 + 9 + 2 = 8 + 2 + 9$,

Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ просто ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ мСстами дСвятку ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΡƒ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ мСняСм мСстами ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ $a$ ΠΈ $b$? ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Π½Π΅Ρ‚, Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ. Вспомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, собствСнно, ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ запись

$8 + 9 + 2$.

Π­Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅ Π΄ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ, всСго лишь ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ записи

$(8 + 9) + 2$.

ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ слоТСния ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ мСстами Π΄Π²Π° нСпосрСдствСнно складываСмых Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ числа. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

$(8 + 9) + 2 = (9 + 8) + 2$,

ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ:

$(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9)$,

ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊ:

$(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9) = 2 + (9 + 8)$,

ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ этом Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ нСльзя ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²ΠΎΡΡŒΠΌΠ΅Ρ€ΠΊΠ° Π²Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π»Π°ΡΡŒ с Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΎΠΉ, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΠ»Π°ΡΡŒ дСвятка. ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΡƒ $a$ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊ ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΠ΅ $b$, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΡƒ $b$ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊ ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΠ΅ $a$, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ позволяСт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ ΠΊΡƒΡ‡Π΅ΠΊ для слияния.

Как ΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ? ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ свойствС слоТСния, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ± ассоциативности (Π½Π° школьном языкС ΠΎΠ½ΠΎ называСтся ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ свойством слоТСния):

$(a + b) + c = a + (b + c)$.

Π­Ρ‚ΠΎ свойство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ позволяСт ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ порядок объСдинСния ΠΊΡƒΡ‡Π΅ΠΊ. Π’ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π΅ΠΌ, Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠœΡ‹ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

$(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2)$.

Если Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ спСрва ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΡΡŒΠΌΠ΅Ρ€ΠΊΡƒ ΠΈ дСвятку, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ дСвятку ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΡƒ. Но это ΠΆΠ΅ вовсС Π½Π΅ Ρ‚ΠΎ, ΠΊ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ стрСмимся!

На самом Π΄Π΅Π»Π΅, Ρ‚ΡƒΡ‚ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌΠΈ свойствами сразу. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ассоциативности ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΈ ΠΊ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ

$(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2)$.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ помСняСм мСстами дСвятку ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΡƒ:

$8 + (9 + 2) = 8 + (2 + 9)$.

Π”Π°Π»Π΅Π΅, снова Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Π°ΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ:

$8 + (2 + 9) = (8 + 2) + 9$.

И Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:

$(8 + 2) + 9 = 8 + 2 + 9$.

ПослС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… усилий ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π±Π΅Π· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ с самого Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π±Ρ‹Π» ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½. Π—Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ это Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ? А Ссли Π½Π°ΠΌ понадобится ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,

$1 + 8 + 5 + 2 + 9$,

Π½Π°ΠΌ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π°Π΄ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ? Π Π°Π·Π²Π΅ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ смоТСм сразу ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π² ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:

$(9 + 1) + (8 + 2) + 5$?

Вопросы Ρ€Π΅Π·ΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π² Π½ΠΈΡ… слСдуСт Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π½ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ.

НачнСм с Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΡƒΠΆ устроСна ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π²Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ вводят Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ Π½Π΅ΡƒΠΊΠΎΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ с Π²Π°ΠΌΠΈ (ΠΏΠΎΠΊΠ° Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΌ), для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, достаточно Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ эти ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π² сильно ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. Π― Π±Ρ‹ ΠΈ Π½Π΅ рассказывал Π²Π°ΠΌ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π°ΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π΄Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ… эти свойства (ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°, ΠΏΠΎΠ΄ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ) выписаны ΠΆΠΈΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΡˆΡ€ΠΈΡ„Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΠ±Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. ΠŸΡ€ΠΈ этом, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠΎΠΌ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ, Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠ»Π΅Ρ‚ΡƒΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ· памяти, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ нСприятностям Π½Π° устных опросах ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ….

Π’Π°ΠΊ Π²ΠΎΡ‚: Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ эти свойства для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΡ‹ Π½Π° Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… основаниях ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΏΠΎ своСму ΡƒΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ порядок вычислСний ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ суммы большого числа слагаСмых. РазумССтся, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ всякий Ρ€Π°Π· ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ шаг Π·Π° шагом порядок примСнСния этих свойств. ΠœΡ‹ просто Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅:

Из свойств коммутативности ΠΈ ассоциативности ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ΅, вывСсти, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ числа ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π² Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ любом порядкС.

Ни ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒ, Π½ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΡ‹ сСйчас Π½Π΅ станСм, Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ называСтся, Π½Π° Π²Π΅Ρ€Ρƒ. Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅-Ρ‚ΠΎ, настоящиС ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅Ρ€Ρƒ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚, Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ с Π²Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ° Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ совсСм настоящиС ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΌ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚. ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π½ΠΎ ΠΈ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π‘ΠΏΡ€Π°ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ: Ссли Π² суммС ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΠΈ Π² этом случаС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ порядок суммирования?

РассуТдСния с ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ сСбС ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΡƒ с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ количСством ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ‚. Но ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π° этот Ρ€Π°Π· Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ. Π£ нас ΡƒΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ обращСния с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами, ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ свойства коммутативности ΠΈ ассоциативности для Π½ΠΈΡ… ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ. РазумССтся, наш ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½: вСдь ΠΌΡ‹ ΠΆΠ΅ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±ΠΈΡ€Π°Π»ΠΈ всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ сомнСния Π½Π° этот счСт Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°Π½Ρ‹, ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚, Ρƒ ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Волько я Π½Π΅ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ‚ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° это слишком ΡƒΠΆ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ° Π΅Ρ‰Π΅ Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌΡƒ Π½Π΅ ΡƒΠ΄Π°Π²Π°Π»ΠΎΡΡŒ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ отнСсСмся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ слоТСниС ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΈ ассоциативно для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл; ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ· нашСго ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ утвСрТдСния (принятого Π½Π° Π²Π΅Ρ€Ρƒ) со всСй ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ порядок суммирования Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ влияСт Π½Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ суммы, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли срСди слагаСмых Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Напомню, кстати, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

$5 — 3 = 5 + (-3)$,
$5 — (4 — 1) = 5 + (-4) + 1$.

ΠšΠΎΠ½ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚

ΠŸΡ€ΠΈ вычислСнии суммы Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл, состоящСй ΠΈΠ· любого количСства слагаСмых, порядок дСйствий ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ слСдуСт ΠΈΠ· коммутативности ΠΈ ассоциативности слоТСния, Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ здСсь Π½Π΅ приводится.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

2.6.1. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ способом:

$24 + 15 + 6$

$9 + 43 + 11$

$12 + 16 + 8 + 4$

$35 + 33 + 15 + 7$

ΠΈ Ρ‚.ΠΏ.

2.6.2. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ способом:

$63 + 29 — 3$

$38 + 14 — 8$

$25 — 17 — 15 + 37$

$190 — 3 — 90 + 13$

$-23 + 69 + 33 — 9$

ΠΈ Ρ‚.ΠΏ.

2.6.3. Π”Π°Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅.

a) $87 — (5 + 7)$
b) $87 — (5 — 7)$

a) $58 + (6 — 2)$
b) $58 + (2 — 6)$

ΠΈ Ρ‚.ΠΏ.

2.6.4. Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ:

$10 + x + 23$

$-13 — (x — 2) + 43$

$x — 4 + 15 — 6 — (x + 1)$

ΠΈ Ρ‚.ΠΏ.

Из «бСсконСчного» сборника Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ

ЧисловыС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈ дСйствия, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ порядка дСйствий

РаскрытиС скобок Π² выраТСниях Ρ‚ΠΈΠΏΠ° (a Β± b) Β± (c Β± d)

Β 

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство — ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство касаСтся арифмСтичСских ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ слоТСния ΠΈ умноТСния. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ порядка ΠΈΠ»ΠΈ полоТСния Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΡ… слоТСнии ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ мСняСт ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚. НапримСр, 4 + 5 Π΄Π°Π΅Ρ‚ 9, Π° 5 + 4 Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ 9. ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ слоТСния Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл Π½Π΅ влияСт Π½Π° сумму. Π’Π° ΠΆΠ΅ концСпция ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠ° ΠΈ ΠΊ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ. Бвойство коммутативности Π½Π΅ выполняСтся для вычитания ΠΈ дСлСния, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ послС измСнСния порядка чисСл.

1. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ коммутативная ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ?
2. ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство слоТСния
3.
ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство умноТСния
4. ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ассоциативного свойства
5. Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ собствСнности

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство?

Π‘Π»ΠΎΠ²ΠΎ Β«ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉΒ» происходит ΠΎΡ‚ слова Β«ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΒ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, свойство коммутативности связано с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ чисСл. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, матСматичСски, Ссли ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ порядка ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Π½Π΄ΠΎΠ² Π½Π΅ мСняСт Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ арифмСтичСской ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ эта конкрСтная арифмСтичСская опСрация являСтся ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ. Помимо этого, ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ свойства чисСл: Π°ΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π΄ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Они ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ свойства чисСл. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎ обсудим пСрСстановочноС свойство слоТСния ΠΈ умноТСния.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ свойства

Если Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° числа A ΠΈ B, Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ свойства чисСл задаСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

  • A + B = B + A
  • А Γ— Π’ = Π’ Γ— А
  • А — Π’ β‰  Π’ — А
  • А Γ· Π’ β‰  Π’ Γ· А

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° свойства коммутативности гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ порядка Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΡ… слоТСнии ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ влияСт Π½Π° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚. Но ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл порядок чисСл Π²Π°ΠΆΠ΅Π½ ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΅Π³ΠΎ нСльзя ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ.

ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство слоТСния

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство слоТСния Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ порядка слагаСмых Π½Π΅ мСняСт значСния суммы. Если Β«AΒ» ΠΈ Β«BΒ» β€” Π΄Π²Π° числа, Ρ‚ΠΎ свойство коммутативности слоТСния чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСно, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ возьмСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ свойства слоТСния ΠΈ ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Если Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° числа 10 ΠΈ 13, Ρ‚ΠΎ 10 + 13 = 23 ΠΈ 13 + 10 = 23. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, 10 + 13 = 13 + 10,

ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство умноТСния

ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство умноТСния Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ порядок, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° числа, Π½Π΅ мСняСт ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅, прСдставляСт ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство умноТСния Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл.

Если 4 ΠΈ 6 числа, Ρ‚ΠΎ 4 Γ— 6 = 24, Π° 6 Γ— 4 Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 24. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 4 Γ— 6 = 6 Γ— 4. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, свойство коммутативности выполняСтся для умноТСния чисСл.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: Бвойство коммутативности Π½Π΅ выполняСтся для ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ вычитания ΠΈ дСлСния. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Π² качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° числа 6 ΠΈ 2.

  • 6 — 2 = 4, Π½ΠΎ 2 — 6 = -4. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 6 — 2 β‰  2 — 6.
  • 6 Γ· 2 = 3, Π½ΠΎ 2 Γ· 6 = 1/3. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 6 Γ· 2 β‰  2 Γ· 6.

ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ассоциативного свойства

Π•ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… свойства чисСл: Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π°ΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ассоциативным ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ свойством. И ассоциативноС, ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ порядок чисСл Π½Π΅ влияСт Π½Π° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ слоТСния ΠΈ умноТСния. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ? Π”Π°Π²Π°ΠΉ выясним.

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ ассоциативноС свойства.

ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ имущСство АссоциативноС свойство
ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство происходит ΠΎΡ‚ слова Β«ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΒ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°. АссоциативноС свойство происходит ΠΎΡ‚ слова Β«Π°ΡΡΠΎΡ†ΠΈΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΒ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π΅Π»ΠΎ с Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ чисСл.
ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ Π² случаС слоТСния ΠΈ умноТСния Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл Π±Π΅Π· измСнСния ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°. Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π° Π² случаС слоТСния ΠΈ умноТСния Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… чисСл Π±Π΅Π· измСнСния ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:

А + Π’ = Π’ + А

А Γ— Π’ = Π’ Γ— А

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:

А + (Π’ + Π‘) = (А + Π’) + Π‘ = (А + Π‘) + Π’

А Γ— (Π’ Γ— Π‘) = (А Γ— Π’) Γ— Π‘ = (А Γ— Π‘) Γ— Π’

Π’Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ примСчания:

НСкоторыС ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ слСдуСт ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ свойствС коммутативности, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

  • ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Β«ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ порядка ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Π½Π΄ΠΎΠ² Π½Π΅ мСняСт Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Β».
  • Бвойство коммутативности слоТСния: A + B = B + A.
  • Бвойство коммутативности умноТСния: A Γ— B = B Γ— A.

β˜› ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹

ΠžΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡŒΡ‚Π΅ΡΡŒ с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ интСрСсными ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΠΌΠΈ, посвящСнными коммутативности Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

  • Бвойства Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл
  • Бвойства Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл
  • Бвойства Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл
  • Бвойства Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл

Cuemath β€” ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ для обучСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, которая ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π² Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ для классов K-12. Наша миссия β€” ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅Ρ‚ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π΅ΡƒΡΠΏΠ΅Ρ‚ΡŒ Π² школС ΠΈ Π½Π° конкурсных экзамСнах. Наши ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ проводят 2 ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΆΠΈΠ²Ρ‹Ρ… занятий Π² нСдСлю Π² Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ потрСбностям Ρ€Π΅Π±Π΅Π½ΠΊΠ° Π² ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ.

Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… свойств

  1. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: ΠœΠ°Ρ‚ΡŒ Π”ΠΆΠ΅ΠΊΠΈ спросила Π΅Π³ΠΎ, являСтся Π»ΠΈ слоТСниС Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ свойства коммутативности. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π”ΠΆΠ΅ΠΊΠΈ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, являСтся Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‚?

    РСшСниС:

    ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ свойство пСрСстановочности слоТСния гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ порядка слагаСмых Π½Π΅ мСняСт значСния суммы.

    Если ΠΌΡ‹ возьмСм Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… числа, скаТСм, 2 ΠΈ 5, Ρ‚ΠΎ 2 + 5 = 7 = 5 + 2. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, слоТСниС Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл являСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ свойства коммутативности.

  2. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: 132 Γ— 121 = ___ Γ— 132.

    РСшСниС:

    ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство умноТСния ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° числа x ΠΈ y, Ρ‚ΠΎ x Γ— y = y Γ— Икс. Если Π²Ρ‹ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ посмотритС Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ здСсь ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ свойство коммутативности. Если x = 132, Π° y = 121, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 132 Γ— 121 = 121 Γ— 132.

    ∴ ΠΠ΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ число 121.

  3. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, являСтся Π»ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ истинным ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ.

    «Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 12 Π½Π° 4 удовлСтворяСт свойству коммутативности.»

    РСшСниС:

    Бвойство коммутативности Π½Π΅ выполняСтся для ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ дСлСния. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ это.

    12 Γ· 4 = 3
    4 Γ· 12 = 1/3 = 0,33
    β‡’ 12 Γ· 4 β‰  4 Γ· 12

    ∴ Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ.

ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ слайдупСрСйти ΠΊ слайдупСрСйти ΠΊ слайду

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ слоТныС ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ простых Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… срСдств.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° большС Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ слоТным ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΌ, особСнно ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΉ.

Π—Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° бСсплатный ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ вопросы ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ собствСнности

Β 

ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ слайдупСрСйти ΠΊ слайду

Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ свойствС

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅?

Бвойство коммутативности гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли порядок чисСл ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ мСстами ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ слоТСния ΠΈΠ»ΠΈ умноТСния, сумма ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ измСнится. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ свойство коммутативности справСдливо Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для слоТСния ΠΈ умноТСния, Π½ΠΎ Π½Π΅ для вычитания ΠΈ дСлСния. НапримСр, 6 + 7 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 13 ΠΈ 7 + 6 Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 13. Аналогично, 6 Γ— 7 = 42 ΠΈ 7 Γ— 6 = 42.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство слоТСния?

Богласно ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌΡƒ свойству слоТСния, ΠΏΡ€ΠΈ слоТСнии Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл Π² любом порядкС сумма остаСтся Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. НапримСр, 3 + 9= 9 + 3 = 12.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство умноТСния?

Богласно свойству пСрСстановочности умноТСния, порядок умноТСния чисСл Π½Π΅ мСняСт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. НапримСр, 4 Γ— 5 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 20, Π° 5 Γ— 4 Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 20. Π₯отя порядок чисСл измСнился, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 20.

МоТно Π»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство для вычитания ΠΈ дСлСния?

Бвойство коммутативности нСльзя ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ для вычитания ΠΈ дСлСния, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ порядка чисСл ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ вычитания ΠΈ дСлСния Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°. НапримСр, 5 — 2 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ 2 — 5 Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ 10, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 2, Π΄Π°Π΅Ρ‚ 5, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ 2, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 10, Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ 5. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для вычитания ΠΈ дСлСния.

Π’ Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈ ассоциативным свойством?

Бвойство пСрСстановочности гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ порядка Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл Π² ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ слоТСния ΠΈΠ»ΠΈ умноТСния Π½Π΅ мСняСт Π½ΠΈ суммы, Π½ΠΈ произвСдСния. ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство слоТСния записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ A + B = B + A. ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство умноТСния записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ A Γ— B = B Γ— A. АссоциативноС свойство ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ комбинация Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ чисСл, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ мСняСт Π½ΠΈ суммы, Π½ΠΈ произвСдСния. ΠΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ слоТСния записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ: (A + B) + C = A + (B + C) = (A + C) + B. ΠΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ умноТСния записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ (A Γ— B) Γ— C = A Γ— (Π’ Γ— Π‘) = (А Γ— Π‘) Γ— Π’.

Π’ Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ?

Бвойство коммутативности гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ порядка чисСл Π² ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ слоТСния ΠΈΠ»ΠΈ умноТСния Π½Π΅ мСняСт Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ свойство слоТСния Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл Β«AΒ» ΠΈ Β«BΒ» Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ A + B = B + A. Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ числа Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ число Π² скобках. Числа Π² скобках Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ символом слоТСния ΠΈΠ»ΠΈ вычитания. Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство слоТСния Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл «А», Β«Π’Β»: А(Π’ + Π‘) = АВ + АБ.

ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ 3 числа?

Когда Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… чисСл, Ρ‚ΠΎ это называСтся ассоциативным свойством, Π° Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ свойством. ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ ΠΊ Π΄Π²ΡƒΠΌ числам ΠΈ гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ мСстами эти Π΄Π²Π° числа ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΡ… слоТСнии ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π±Π΅Π· измСнСния Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°.

Π§Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства слоТСния ΠΈ умноТСния?

Π’ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… случаях, слоТСния ΠΈ умноТСния, порядок чисСл Π½Π΅ влияСт Π½Π° сумму ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, свойство коммутативности Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ слоТСния ΠΈ умноТСния.

Как Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌΡƒ свойству слоТСния?

Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΉ способ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ свойству слоТСния — это ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ· Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ камСшки, ΠΈΠ³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ кости, сСмСна ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π”Π°ΠΉΡ‚Π΅ учащСмуся 3 ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠ°, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΅ΠΌΡƒ/Π΅ΠΌΡƒ Π΅Ρ‰Π΅ 5 ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π΅/Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠΎΠ². Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ процСсс сначала с 5 ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ с 3 ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, учащиСся Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ это свойство ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΡ… листов слоТСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹?

ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ β€” это Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ свойства, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΊ слоТСнию ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ. ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ слоТСния гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ порядок слоТСния Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл Π½Π΅ мСняСт суммы (A + B = B + A). ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство умноТСния гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ порядок умноТСния Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл Π½Π΅ мСняСт произвСдСния (A Γ— B = B Γ— A).

Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· — ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ порядка сумм Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл

Π—Π°Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ вопрос 9\infty A_i}a_n$$ Π—Π΄Π΅ΡΡŒ $A_i$ β€” Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ мноТСства Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Π° $a_n$ β€” Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. ΠšΠ°ΠΆΠ΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ идСнтификация Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Π½ΠΎ я Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³Ρƒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ вСских Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ², ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ. ΠšΠ°ΠΆΠ΅Ρ‚ΡΡ довольно Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС $a_n$ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹. Мой вопрос: ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° я ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΠΎΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сумм, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… этому?

  • Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·
  • суммированиС

$\endgroup$

2

$\begingroup$ 9\infty |a_n|<\infty$, β€” Ρ‚ΠΎ ряд сходится ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ, ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹ Π²Ρ‹ Π½ΠΈ пСрСставляли Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *