8-900-374-94-44
Вернуться к списку материалов блога
Правило о том, что при перестановке слагаемых сумма остаётся неизменной, заучивали все. Это свойство называют «коммутативность» или же «переместительный закон», и кажется оно вполне очевидным. Действительно, если положить в пустую корзину сперва два яблока, а потом три, или же сперва три яблока, а потом два – число яблок в корзине не изменится: все пять штук будут на своём законном месте.
Однако же попробуем слегка поколебать незыблемость этого правила. Нам понадобятся всего лишь простейшие сведения из математики: действия с дробями. Рассмотрим вот такую бесконечную сумму:
$$ \boldgreen{S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\ldots} $$
К слову, такая сумма называется числовым рядом. Записанная сумма явно больше нуля. Посудите сами: \(1-\frac{1}{2}\gt{0}\), \(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\gt{0}\) и так далее.
Теперь разделим обе части записанного выше равенства на 2:
$$ \boldblue{\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\frac{1}{14}-\frac{1}{16}+\frac{1}{18}-\frac{1}{20}+\ldots} $$
Самый последний шаг: сложим зелёное и синее равенства. Обратите внимание, что слагаемые \(\frac{1}{2}\) и \(-\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{6}\) и \(-\frac{1}{6}\) и т.д. сократятся. Так как \(S+\frac{1}{2}S=\frac{3}{2}S\), то получим:
$$ \boldpurple{\frac{3}{2}S=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{8}+\ldots} $$
И что же мы видим в правой части полученного равенства? А видим мы ту же исходную сумму – только с переставленными слагаемыми. Однако мы точно знаем, что от перемены мест слагаемых сумма не изменится, т.е. останется всё так же равной \(S\).
Итак, после всех праведных трудов у нас вышло простенькое уравнение \(\frac{3}{2}S=S\), откуда имеем \(S=0\). Однако постойте: выше мы вполне закономерно получили, что \(S\gt{0}\)! Выходит, что результат \(S=0\) ошибочен, т.
И эта ошибка прячется именно там, где меньше всего её ожидаешь: в том месте, где мы решили, что от перестановки слагаемых сумма останется той же. Это свойство, верное для конечных сумм, пасует, если речь идёт о бесконечности. Переставляйте хоть миллиард слагаемых, но сумма не поменяется, – однако на бесконечности возможны нюансы 🙂
Если немного углубиться в курс математического анализа, то эти нюансы объясняет теорема Римана, согласно которой существуют такие бесконечные суммы (условно сходящиеся ряды), что каково бы ни было число \(A\), можно так переставить слагаемые этой суммы, что она станет равна числу \(A\). Т.е. банальной перестановкой чисел можно добиться, чтобы сумма стала равна
Еще недавно, учась сложению чисел, мы складывали кучки из монет.
Тогда перед нами стояла задачи сложить две кучки. Но допустим, мы хотим теперь сложить не две, а несколько кучек. Это можно было бы сделать так: сгребаем их все сразу в одну большую кучу и пересчитываем в ней все монеты. Такой способ сложения всем бы был хорош, да только ни на счетах, ни на бумаге нельзя сделать ничего подобного. На счетах и бумаге мы умеем складывать между собой только два числа. Поэтому мы не будем сгребать вместе сразу все кучки, а поступим так, чтобы все наши действия можно было легко перенести на бумагу.
Итак, перед нами несколько кучек из монет. Мы знаем, сколько монет в каждой кучке, и теперь мы хотим узнать, сколько же у нас всего монет во всех кучках. Мы берем любые две кучки и сдвигаем их вместе, образуя одну новую кучку побольше. Умея складывать два числа на бумаге, мы сможем легко вычислить, сколько у нас монет в новой кучке без фактического их пересчета. Теперь у нас стало на одну кучку меньше. Далее, берем еще две кучки, сливаем их воедино, вычисляем новое число монет в только что образованной кучке и, таким образом, снова уменьшаем количество кучек на одну.
Мы повторяем и повторяем эту процедуру, уменьшая всякий раз число кучек на единицу, до тех пор пока у нас не останется одна-единственная большая куча. Число монет в этой куче нам известно, причем вычислили мы его на бумаге, а не прямым пересчетом.
Очевидно, мы получим один и тот же ответ, совершенно независимо от того, в каком порядке мы сдвигали кучки. А значит, когда перед нами находится сумма чисел, например,
$8 + 9 + 2$,
мы можем вычислять ее тоже в любом порядке. Поэтому мы всегда будем выбирать такой порядок, какой для нас наиболее удобен. В данном случае удобно вначале сложить восьмерку и двойку, а потом добавить девятку:
$8 + 2 + 9 = 10 + 9 = 19$.
Но математический язык — это язык строгих правил. Спрашивается: на основании какого правила мы можем произвольно менять порядок вычислений при нахождении суммы нескольких слагаемым? Мы знаем, например, свойство коммутативности (которое, на школьном языке, называется также переместительным свойством сложения):
$a + b = b + a$.
Можем ли мы, опираясь на это свойство, написать
$8 + 9 + 2 = 8 + 2 + 9$,
то есть просто переставить местами девятку и двойку, подобно тому, как мы меняем местами переменные $a$ и $b$? Оказывается, нет, не можем. Вспомним, что, собственно, означает запись
$8 + 9 + 2$.
Это, как мы раньше договорились, всего лишь упрощенный вариант более подробной записи
$(8 + 9) + 2$.
Коммутативность сложения означает, что мы можем переставлять местами два непосредственно складываемых друг с другом числа. То есть, мы можем написать так:
$(8 + 9) + 2 = (9 + 8) + 2$,
или так:
$(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9)$,
или даже так:
$(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9) = 2 + (9 + 8)$,
однако при этом никак нельзя сделать так, чтобы восьмерка вначале складывалась с двойкой, а потом прибавлялась девятка. Коммутативность означает, что мы можем с одинаковым результатом либо кучку $a$ придвинуть к кучке $b$, либо наоборот, кучку $b$ придвинуть к кучке $a$, но коммутативность не позволяет произвольно выбирать пары кучек для слияния.
Как же быть? Мы должны вспомнить еще об одном свойстве сложения, а именно об ассоциативности (на школьном языке оно называется сочетательным свойством сложения):
$(a + b) + c = a + (b + c)$.
Это свойство действительно позволяет менять порядок объединения кучек. Впрочем, далеко не произвольно. Мы теперь можем написать так:
$(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2)$.
Если раньше мы должны были сперва обязательно складывать восьмерку и девятку, то теперь можем начать с того, чтобы сложить девятку и двойку. Но это же вовсе не то, к чему мы стремимся!
На самом деле, тут нужно воспользоваться обоими свойствами сразу. С помощью ассоциативности мы пришли к выражению
$(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2)$.
Теперь воспользуемся коммутативностью и поменяем местами девятку и двойку:
$8 + (9 + 2) = 8 + (2 + 9)$.
Далее, снова воспользуемся ассоциативностью:
$8 + (2 + 9) = (8 + 2) + 9$.
И наконец, перепишем конечное выражение в упрощенном виде:
$(8 + 2) + 9 = 8 + 2 + 9$.
После многих усилий мы получили результат, который и без того с самого начала был очевиден. Зачем же это было нужно? А если нам понадобится посчитать более длинное выражение, например,
$1 + 8 + 5 + 2 + 9$,
нам тоже надо будет действовать по правилам? Разве мы не сможем сразу переписать его в удобном виде:
$(9 + 1) + (8 + 2) + 5$?
Вопросы резонные и в них следует хорошенько разобраться.
Начнем с того, что так уж устроена математика: ученые-математики вначале вводят хорошо продуманные правила, а потом неукоснительно им следуют. Другое дело, что нам с вами (пока еще не ученым), для того чтобы хорошо решать школьные задачи, достаточно знать эти правила в сильно упрощенной форме. Я бы и не рассказывал вам ничего про коммутативность и ассоциативность, да только в школьных учебниках эти свойства (правда, под другим названием) выписаны жирным шрифтом и обведены в рамочку. При этом, однако, толком не объясняется, зачем они нужны и как их применять. Поэтому они моментально улетучиваются из памяти, что, в свою очередь, приводит к неприятностям на устных опросах и контрольных работах.
Так вот: нужны эти свойства для того, чтобы мы на законных основаниях могли по своему усмотрению менять порядок вычислений при нахождении суммы большого числа слагаемых. Разумеется, мы не будем всякий раз подробно расписывать шаг за шагом порядок применения этих свойств. Мы просто будем иметь в виду следующее:
Из свойств коммутативности и ассоциативности можно, в принципе, вывести, что складывать числа можно в абсолютно любом порядке.
Ни проверять, ни доказывать это общее утверждение мы сейчас не станем, а примем его, что называется, на веру. Вообще-то, настоящие ученые-математики ничего на веру не принимают, но мы с вами пока что еще не совсем настоящие ученые.
Теперь нам осталось уточнить еще один важный момент. Мы знаем, что складывать можно не только натуральные числа, но и целые, которые бывают и отрицательными. Спрашивается: если в сумме присутствуют отрицательные числа, то можно ли и в этом случае произвольно менять порядок суммирования?
Рассуждения с кучками монет нам теперь не помогут, потому что очень трудно представить себе кучку с отрицательным количеством монет.
Но мы пойдем на этот раз другим путем. У нас уже есть некоторый опыт обращения с целыми числами, и мы имели возможность убедиться, что свойства коммутативности и ассоциативности для них сохраняются. Разумеется, наш опыт очень ограничен: ведь мы же не перебирали всех возможных комбинаций с целыми числами. Так что сомнения на этот счет вполне оправданы, и тот, у кого они возникли, может поискать опровержение. Только я не советую тратить на это слишком уж много времени, поскольку найти такое опровержение пока еще никому не удавалось. Поэтому давайте отнесемся как к факту, что сложение коммутативно и ассоциативно для любых целых чисел; и тогда из нашего общего утверждения (принятого на веру) со всей определенностью будет следовать, что порядок суммирования никак не влияет на значение суммы, даже если среди слагаемых есть отрицательные числа. Напомню, кстати, что любую разность можно переписать в виде суммы, например:
$5 — 3 = 5 + (-3)$,
$5 — (4 — 1) = 5 + (-4) + 1$.
Конспект
При вычислении суммы целых чисел, состоящей из любого количества слагаемых, порядок действий можно произвольно менять.
Это правило следует из коммутативности и ассоциативности сложения, но доказательство здесь не приводится.
Задачи
2.6.1. Вычислить наиболее удобным способом:
$24 + 15 + 6$
$9 + 43 + 11$
$12 + 16 + 8 + 4$
$35 + 33 + 15 + 7$
и т.п.
2.6.2. Вычислить наиболее удобным способом:
$63 + 29 — 3$
$38 + 14 — 8$
$25 — 17 — 15 + 37$
$190 — 3 — 90 + 13$
$-23 + 69 + 33 — 9$
и т.п.
2.6.3. Дана пара выражений. Вычислить значение того из них, для которого это сделать проще.
a) $87 — (5 + 7)$
b) $87 — (5 — 7)$
a) $58 + (6 — 2)$
b) $58 + (2 — 6)$
и т.п.
2.6.4. Упростить выражение с переменной:
$10 + x + 23$
$-13 — (x — 2) + 43$
$x — 4 + 15 — 6 — (x + 1)$
и т.п.
Из «бесконечного» сборника типовых упражнений
Числовые примеры в три действия, которые легко можно упростить изменением порядка действий
Раскрытие скобок в выражениях типа (a ± b) ± (c ± d)
Переместительное свойство касается арифметических операций сложения и умножения.
Это означает, что изменение порядка или положения двух чисел при их сложении или умножении не меняет конечный результат. Например, 4 + 5 дает 9, а 5 + 4 также дает 9. Порядок сложения двух чисел не влияет на сумму. Та же концепция применима и к умножению. Свойство коммутативности не выполняется для вычитания и деления, так как конечные результаты совершенно другие после изменения порядка чисел.
| 1. | Что такое коммутативная собственность? |
| 2. | Коммутативное свойство сложения |
| 3. | Коммутативное свойство умножения |
| 4. | Коммутативное свойство против ассоциативного свойства |
| 5. | Часто задаваемые вопросы о коммутативной собственности |
Слово «коммутативный» происходит от слова «коммутировать», что означает передвигаться.
Следовательно, свойство коммутативности связано с перемещением чисел. Таким образом, математически, если изменение порядка операндов не меняет результат арифметической операции, то эта конкретная арифметическая операция является коммутативной. Помимо этого, существуют и другие свойства чисел: ассоциативность, дистрибутивность и тождественность. Они отличаются от коммутативного свойства чисел. Кратко обсудим перестановочное свойство сложения и умножения.
Если даны два числа A и B, то формула коммутативного свойства чисел задается следующим образом:
Формула свойства коммутативности гласит, что изменение порядка двух чисел при их сложении и умножении не влияет на результат. Но при вычитании и делении любых двух действительных чисел порядок чисел важен и, следовательно, его нельзя изменить.
Переместительное свойство сложения говорит о том, что изменение порядка слагаемых не меняет значения суммы.
Если «A» и «B» — два числа, то свойство коммутативности сложения чисел может быть представлено, как показано на рисунке ниже.
Давайте возьмем пример коммутативного свойства сложения и поймем применение приведенной выше формулы. Если даны два числа 10 и 13, то 10 + 13 = 23 и 13 + 10 = 23. Следовательно, 10 + 13 = 13 + 10,
Коммутативное свойство умножения говорит о том, что порядок, в котором мы умножаем два числа, не меняет конечного произведения. Изображение, приведенное ниже, представляет коммутативное свойство умножения двух чисел.
Если 4 и 6 числа, то 4 × 6 = 24, а 6 × 4 также равно 24. Таким образом, 4 × 6 = 6 × 4. Следовательно, свойство коммутативности выполняется для умножения чисел.
Примечание: Свойство коммутативности не выполняется для операций вычитания и деления. Возьмем в качестве примера числа 6 и 2.
Есть четыре общих свойства чисел: замкнутость, коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность. В этом разделе мы узнаем разницу между ассоциативным и коммутативным свойством. И ассоциативное, и коммутативное свойство утверждают, что порядок чисел не влияет на результат сложения и умножения. Итак, в чем разница между ними? Давай выясним.
Посмотрите на приведенную ниже таблицу, показывающую коммутативное и ассоциативное свойства.
| Коммутативное имущество | Ассоциативное свойство |
|---|---|
| Коммутативное свойство происходит от слова «коммутировать», что означает передвигаться, переключать или менять номера. | Ассоциативное свойство происходит от слова «ассоциировать», которое имеет дело с группировкой чисел. |
| Порядок чисел может быть изменен в случае сложения и умножения двух чисел без изменения конечного результата. | Группировка чисел может быть изменена в случае сложения и умножения трех чисел без изменения конечного результата. |
Формула: А + В = В + А А × В = В × А | Формула: А + (В + С) = (А + В) + С = (А + С) + В А × (В × С) = (А × В) × С = (А × С) × В |
Важные примечания:
Некоторые ключевые моменты, которые следует помнить о свойстве коммутативности, приведены ниже.
☛ Похожие темы
Ознакомьтесь с некоторыми интересными статьями, посвященными коммутативности в математике.
Cuemath — одна из ведущих мировых платформ для обучения математике, которая предлагает онлайн-уроки по математике в режиме реального времени один на один для классов K-12. Наша миссия — изменить то, как дети изучают математику, чтобы помочь им преуспеть в школе и на конкурсных экзаменах. Наши опытные преподаватели проводят 2 или более живых занятий в неделю в темпе, соответствующем потребностям ребенка в обучении.
Пример 1: Мать Джеки спросила его, является ли сложение двух натуральных чисел примером свойства коммутативности. Можете ли вы помочь Джеки выяснить, является ли оно коммутативным или нет?
Решение:
Мы знаем, что свойство перестановочности сложения гласит, что изменение порядка слагаемых не меняет значения суммы.
Пример 2: Найдите пропущенное значение: 132 × 121 = ___ × 132.
Решение:
Коммутативное свойство умножения утверждает, что если есть два числа x и y, то x × y = y × Икс. Если вы внимательно посмотрите на данное уравнение, то обнаружите, что здесь применимо свойство коммутативности. Если x = 132, а y = 121, то мы знаем, что 132 × 121 = 121 × 132.
∴ Недостающее число 121.
Пример 3: Укажите, является ли данное утверждение истинным или ложным.
«Деление 12 на 4 удовлетворяет свойству коммутативности.»
Решение:
Свойство коммутативности не выполняется для операции деления. Значит, данное утверждение неверно. Давайте проверим это.
∴ Данное утверждение неверно.
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Разложите сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Записаться на бесплатный пробный урок
перейти к слайдуперейти к слайду
Свойство коммутативности гласит, что если порядок чисел поменять местами при выполнении сложения или умножения, сумма или произведение не изменится. Следует отметить, что свойство коммутативности справедливо только для сложения и умножения, но не для вычитания и деления. Например, 6 + 7 равно 13 и 7 + 6 также равно 13. Аналогично, 6 × 7 = 42 и 7 × 6 = 42.
Согласно коммутативному свойству сложения, при сложении двух чисел в любом порядке сумма остается неизменной.
Например, 3 + 9= 9 + 3 = 12.
Согласно свойству перестановочности умножения, порядок умножения чисел не меняет произведение. Например, 4 × 5 равно 20, а 5 × 4 также равно 20. Хотя порядок чисел изменился, произведение равно 20.
Свойство коммутативности нельзя применять для вычитания и деления, поскольку изменение порядка чисел при выполнении вычитания и деления не дает того же результата. Например, 5 — 2 равно 3, тогда как 2 — 5 не равно 3. Точно так же 10, деленное на 2, дает 5, тогда как 2, деленное на 10, не дает 5. Следовательно, коммутативное свойство не верно для вычитания и деления.
Свойство перестановочности гласит, что изменение порядка двух чисел в операции сложения или умножения не меняет ни суммы, ни произведения. Коммутативное свойство сложения записывается как A + B = B + A.
Коммутативное свойство умножения записывается как A × B = B × A. Ассоциативное свойство утверждает, что группировка или комбинация трех или более чисел, которые добавляются или умножение не меняет ни суммы, ни произведения. Ассоциативность сложения записывается как: (A + B) + C = A + (B + C) = (A + C) + B. Ассоциативность умножения записывается как (A × B) × C = A × (В × С) = (А × С) × В.
Свойство коммутативности гласит, что изменение порядка чисел в операции сложения или умножения не меняет результат. Перестановочное свойство сложения двух чисел «A» и «B» равно A + B = B + A. Распределительное свойство означает умножение числа на каждое число в скобках. Числа в скобках разделяются символом сложения или вычитания. Распределительное свойство сложения двух чисел «А», «В»: А(В + С) = АВ + АС.
Когда речь идет о группировке трех чисел, то это называется ассоциативным свойством, а не коммутативным свойством.
Коммутативное свойство применимо к двум числам и гласит, что мы можем поменять местами эти два числа при их сложении или умножении без изменения результата.
В обоих случаях, сложения и умножения, порядок чисел не влияет на сумму или произведение. Таким образом, свойство коммутативности верно для операций сложения и умножения.
Лучший способ научить переместительному свойству сложения — это использовать предметы из реальной жизни, такие как камешки, игральные кости, семена и т. д. Дайте учащемуся 3 шарика, а затем дайте ему/ему еще 5 шариков. Попросите ее/его посчитать общее количество шариков. Затем повторите тот же процесс сначала с 5 шариками, а затем с 3 шариками. Таким образом, учащиеся будут наблюдать это свойство самостоятельно. Используйте коммутативное свойство рабочих листов сложения, чтобы проверить их понимание.
Коммутативное право — это еще одно название коммутативного свойства, применимого к сложению и умножению.
Коммутативный закон сложения гласит, что порядок сложения двух чисел не меняет суммы (A + B = B + A). Коммутативное свойство умножения гласит, что порядок умножения двух чисел не меняет произведения (A × B = B × A).
Задавать вопрос 9\infty A_i}a_n$$ Здесь $A_i$ — непересекающиеся множества натуральных чисел, а $a_n$ — неотрицательные действительные числа. Кажется, что идентификация должна работать, но я не могу найти веских аргументов, почему. Кажется довольно важным, что все $a_n$ неотрицательны. Мой вопрос: когда я могу оправдать изменение сумм, подобных этому?
$\endgroup$
2
$\begingroup$
9\infty |a_n|<\infty$, — то ряд сходится к одному и тому же значению, как бы вы ни переставляли члены.