8-900-374-94-44
Разделы: Математика
Раскрытие модуля по определению
Модулем числа а называется само это число а, если а ≥ 0, и число -а, если а < 0.
Согласно этому определению, в уравнениях модуль можно раскрывать следующим образом:
№1. Решить уравнение.
№2. Решить уравнение.
Решаем уравнение первой системы:
2sin2x-sinx=0
sinx(2sinx-1)=0
sinx=0 или sinx= (оба уравнения удовлетворяют условию sinx≥0)
Решаем уравнение второй системы, и выбирая те, которые удовлетворяют условию sinx<0,
получаем х =
Серии ответов можно записать объединяя
№3. Решить уравнение.
Решение. Раскрывая знак модуля, получаем системы:
Решая уравнение первой системы, получим Из значений нужно выбрать те, которые удовлетворяют неравенству системы х ≥ -3. Это при n=0, 1, 2, 3…
Решая уравнение второй системы, получим Из этого множества значений нужно выбрать те, которые удовлетворяют неравенству х < -3. Это значения при m= -1, -2, -3…
Ответ: при n=0, 1, 2, 3…; при m = -1, -2, -3…и х = -3
№4 Решить уравнение.
Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, поэтому, раскрывая знак модуля, получим только одну систему
Решаем уравнение системы:
соsx=cosx(x+1,5)2
cosx(1-(x+1,5)2)=0
cosx=0 или x+1,5=1 или x-1,5 = -1
х= -0,5 х = -2,5
Условию cosx≥0 не удовлетворяет х = -2,5 (3 четверть)
Ответ:
№5. Найти все решения уравнения на отрезке [0;4].
Решение. Перепишем уравнение в виде
Раскрывая знак модуля, получаем системы:
Решая первую систему, получим
Из серии в нужном промежутке [0;4] лежат точки 0 и ; , а из серии
Решая вторую систему, получим систему , которая не имеет решений.
Ответ:
№6 Решить уравнение.
Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, тогда 2х-4≥0, 2(х-2)≥0 , х-2≥0. Если х-2≥0. то при раскрытия правого модуля по определению рассматривается только один случай:
х=2
Выберем те корни, которые удовлетворяют условию: х-2≥0; х≥2
№7. Решить уравнение.
Решение. ОДЗ:
Раскрывая знак модуля, получаем системы:
Решая первую систему, получим cos2x=0, и из решений надо выбрать те, при которых sinx>0. На круге видно, что это точки вида
Решая вторую систему, получим уравнение соs2x=2,не имеющее решений.
Ответ:
№8. Решить уравнение.
Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:
Обратная замена:
Ответ:
№9. Решить уравнение.
Решение. Выражение под первым модулем всегда неотрицательно, и его можно сразу отбросить. Второй модуль раскрываем по определению.
Решить уравнение первой система аналитически невозможно, исследуем поведение левой и правой частей на данных промежутках. Функция f(x) =-x2+15x-45=(-x2+15x-44)-1≤-1
при причем, f(х)= -1 в точках 4 и 11.Левая часть cos при любых х, причем, в точках 4 и 11 не равна -1, значит, система решений не имеет.
При решении уравнения второй системы получается:
В промежутке только одно целое нечетное число 3, т.е
Ответ: 9
Другие способы раскрытия модулей.
Уравнения вида можно решать и следующим способом:
№10. Решить уравнение.
Решение. Левая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и правая часть, тогда cosx <0, тогда уравнение равносильно системе
Рассмотрим две системы:
Решая уравнение первой системы получим: cosx-2sinx=0
Учитывая, что cosx≤0, x = arctg Вторая система решений не имеет.
Ответ: x = arctg.
№11. Решить уравнение.
cosx
Решение.
№12. Решить уравнение.
Решение. Уравнение равносильно sinx = ± cosx
Ответ:
21.02.2008
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Достаточно часто в задачах повышенной сложности встречаются тригонометрические уравнения, содержащие модуль. Большинство из них требуют эвристического подхода к решению, который совсем не знаком большинству школьников.
Предлагаемые ниже задачи призваны познакомить вас с наиболее характерными приемами решения тригонометрических уравнений содержащих модуль.
Задача 1. Найти разность (в градусах) наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения 1 + 2sin x · |cos x| = 0.
Решение.
Раскроем модуль:
1) Если cos x ≥ 0, то исходное уравнение примет вид 1 + 2sin x · cos x = 0.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла, получим:
1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Так как cos x ≥ 0, то x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Если cos x < 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Так как cos x < 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Наибольший отрицательный корень уравнения: -π/4; наименьший положительный корень уравнения: 5π/4.
Искомая разность: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 · 180°/2 = 270°.
Ответ: 270°.
Задача 2. Найти (в градусах) наименьший положительный корень уравнения |tg x| + 1/cos x = tg x.
Решение.
Раскроем модуль:
1) Если tg x ≥ 0, тогда
tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x = 0.
В полученном уравнении корней нет.
2) Если tg x < 0, тогда
-tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 и cos x ≠ 0.
С помощью рисунка 1 и условия tg x < 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Наименьший положительный корень уравнения 5π/6. Переведем это значение в градусы:
5π/6 = 5 · 180°/6 = 5 · 30° = 150°.
Ответ: 150°.
Задача 3. Найти количество различных корней уравнения sin |2x| = cos 2x на промежутке [-π/2; π/2].
Решение.
Запишем уравнение в виде sin|2x| – cos 2x = 0 и рассмотрим функцию y = sin |2x| – cos 2x. Так как функция является четной, то найдем ее нули при x ≥ 0.
sin 2x – cos 2x = 0; разделим обе части уравнения на cos 2x ≠ 0, получим:
tg 2x – 1 = 0;
tg 2x = 1;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Воспользовавшись четностью функции, получим, что корнями исходного уравнения являются числа вида
± (π/8 + πn/2), где n € Z.
Промежутку [-π/2; π/2] принадлежат числа: -π/8; π/8.
Итак, два корня уравнения принадлежат заданному промежутку.
Ответ: 2.
Данное уравнения можно было бы решить и раскрытием модуля.
Задача 4. Найти количество корней уравнения sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin2 x = sin2 x на промежутке [-π; 2π].
Решение.
1) Рассмотрим случай, когда 2cos x – 1 > 0, т.е. cos x > 1/2, тогда уравнение принимает вид:
sin x – sin2 x = sin2 x;
sin x – 2sin2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 или 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 или sin x = 1/2.
Используя рисунок 2 и условие cos x > 1/2, найдем корни уравнения:
x = π/6 + 2πn или x = 2πn, n € Z.
2) Рассмотрим случай, когда 2cos x – 1 < 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
sin x + sin2 x = sin2 x;
sin x = 0;
x = 2πn, n € Z.
Используя рисунок 2 и условие cos x < 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Объединим два случая, получим:
x = π/6 + 2πn или x = πn.
3) Промежутку [-π; 2π] принадлежат корни: π/6; -π; 0; π; 2π.
Таким образом, заданному промежутку принадлежат пять корней уравнения.
Ответ: 5.
Задача 5. Найти количество корней уравнения (x – 0,7)2 |sin x| + sin x = 0 на промежутке [-π; 2π].
Решение.
1) Если sin x ≥ 0, то исходное уравнение принимает вид (x – 0,7)2 sin x + sin x = 0. После вынесения общего множителя sin x за скобки, получим:
sin x((x – 0,7)2 + 1) = 0; так как (x – 0,7)2 + 1 > 0 при всех действительных x, то sinx = 0, т.е. x = πn, n € Z.2) Если sin x < 0, то -(x – 0,7)2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0,7)2 – 1) = 0;
sinx = 0 или (x – 0,7)2 + 1 = 0. Так как sin x < 0, то (x – 0,7)2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0,7 = 1 или x – 0,7 = -1, а значит x = 1,7 или x = -0,3.
С учетом условия sinx < 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) > 0, значит только число -0,3 является корнем исходного уравнения.
3) Промежутку [-π; 2π] принадлежат числа: -π; 0; π; 2π; -0,3.
Таким образом, уравнение имеет пять корней на заданном промежутке.
Ответ: 5.
Заняться подготовкой к урокам или экзаменам можно при помощи различных образовательных ресурсов, которые есть в сети. В настоящее время любому человеку просто необходимо использовать новые информационные технологии, ведь правильное, а главное уместное их применение будет способствовать повышению мотивации в изучении предмета, повысит интерес и поможет лучше усвоить необходимый материал. Но не стоит забывать о том, что компьютер не учит думать, полученную информацию обязательно необходимо обрабатывать, понимать и запоминать. Поэтому вы можете обратиться за помощью к нашим онлайн репетиторам, которые помогут вам разобраться с решением интересующих вас задач.
Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
Зарегистрироваться
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
blog.tutoronline.ru
Решим тригонометрическое уравнение с модулем:
Так как уравнение содержит модуль, нам нужно этот модуль раскрыть по определению модуля.
Рассмотри два случая:
а) — в этом случае модуль раскрываем с тем же знаком.
б) — в этом случае модуль раскрываем с противоположным знаком.
Итак.
а)
Раскрываем модуль с тем же знаком и получаем уравнение
Представим сумму косинусов в виде произведения, а правую часть уравнения разложим по формуле синуса двойного угла.
Перенесем все влево и вынесем за скобки
Отсюда или
при
Решим второе уравнение:
Введем замену переменной:
Решим квадратное уравнение относительно :
Умножим на -1:
Отсюда или
Нанесем все решения на тригонометрический круг и вспомним, что полученное уравнение «действительно» только при , то есть в первой и четвертой четвертях:
Итак, если , корни уравнения
и
Рассмотрим второй случай:
б)
В этом случае, так как подмодульное выражение отрицательно, раскрываем модуль с противоположным знаком:
Разность косинусов представим в виде произведения.
Вынесем за скобки . Получим:
Отсюда
или
Нанесем корни на тригонометрический круг и отберем те значения, при которых выполняется условие :
Получим решения:
Объединим оба случая и получим окончательный
Ответ:
Можно объединить первую и последнюю серии решений, и тогда получим такой
Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
В статье рассматривается способы расчета и выдача значений основных тригонометрических функций
Если представить комплексное число как
То синус числа, выраженный через гиперболические функции
Если представить
То косинус числа, выраженный через гиперболические функции
Введите в поле число, комплексное или вещественное и программа выдаст результат
http://abak.pozitiv-r.ru
http://abak.pozitiv-r.ru
Если представить
То тангенс числа, выраженный через синус и косинус
или
Котангенс комплексного числа также легко решается
abakbot.ru
Категория: Справочные материалыФункции и графики
Если вы умеете работать с тригонометрическим кругом, то вам не составит труда построить график функции .
Переносим все основные значения углов, представленные на круге, и соответствующие им значения синуса на координатную плоскость.
По оси абсцисс откладываем угол в радианах, по оси ординат — значения синуса угла.
Нанесенные на координатную плоскость точки подсказывают нам плавную кривую. Это и есть график функции на
Поскольку на тригонометрическом круге значения синуса повторяются через каждый круг (несколько кругов), то не составит труда построить график функции и на всей числовой прямой.
Указанный выше фрагмент графика синуса будет для нас являться как бы штампом. Тиражируя этот фрагмент, мы и получим вот такой график функции :
График функции называется синусоидой. График симметричен относительно начала координат.
Точно также, как мы строили график при помощи тригонометрического круга, мы могли бы построить и .
Поступим несколько иначе.
Согласно формулам приведения .
Из чего мы делаем вывод, что график функции будет получен смещением графика функции на единиц влево.
То есть график функции – это все таже синусоида, но теперь уже, симметричная относительно оси ординат.
Приглашаю посмотреть небольшой видеоролик о том, как меняется поведение синусоиды в зависимости от умножения аргумента или функции на некоторое число или от прибавления к аргументу или функции некоторого числа.
egemaximum.ru
Модуль «Синус, косинус. Тангенс, котангенс» (3ч)
УЭ
Название УЭ
Рекомендации по усвоению материала
0
Цель: Сформулировать определения тригонометрических функций, основное тригонометрическое тождество и свойства тригонометрических функций; продемонстрировать умение вычислять значения тригонометрических функций различных углов и решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.
Необходимо знать: определения и свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса, формулы приведения
Уметь: решать тригонометрические уравнения и неравенства
1
Формулируем определение синуса и косинуса при помощи числовой окружности, основное тригонометрическое тождество
Цель: сформулировать определение
синуса и косинуса, основное тригонометрическое тождество и свойства синуса и косинуса
Выполнить входной контроль
Выполнить карточку – работа с учебником «Синус и косинус»
Выполните тест – входной контроль с помощью программы MyTest. оценивание данной работы узнаете по окончанию теста
Прочитайте § 6 учебника Выполните в тетради задания карточки – работа с учебником «Синус и косинус» на оценку
2
Учимся находить значения sint и cost, решаем простейшие уравнения и неравенства, применяя свойства
Цель: Используя свойства синуса и косинуса, формулы приведения демонстрируем умение вычислять значения синуса и косинуса различных углов и решать простейшие уравнения и неравенства
Выполнить задание 2.1
Выполнить задание 2.2
Выполнить задания 2.3
В § 6 учебника рассмотрите разобранные примеры с решениями. При необходимости задайте ваши вопросы ученикам класса или учителю.
Задание 2.1, 2.2, 2.3 – самостоятельная работа, которую надо выполнить на оценку.
3
Формулируем определение тангенса и котангенса и свойства
Цель: сформулировать определение
тангенса и котангенса и их свойства
Выполнить карточку – работа с учебником «Тангенс и котангенс»
Прочитайте § 6 учебника. Выполните в тетради задания карточки – работа с учебником «Тангенс и котангенс» на оценку
4
Учимся находить значения тангенса и котангенса, решаем простейшие уравнение и неравенства
Цель: продемонстрировать умения вычислять значения тангенса и котангенса, применяя свойства и формулы приведения
Выполнить задание 4.1
Задание 4.1– самостоятельная работа, которую надо выполнить на оценку
Вариант возьмите у учителя
на «3»выполнить 1задание –обязательный уровень,
на «4» 1; 2 задание посложнее,
на «5» надо выполнить все три задания
5
Выбор домашнего задания
Цель: выбрать и выполнить дома не менее 3 заданий, составленных по трем уровням сложности, предложенных учителем.
Входной контроль «Синус, косинус. Тангенс и котангенс»
Вычислить:
sin
cos
tg 0
Найти значение выражения:
4cos ctg
Известно, что tg t= . Вычислите tg (2 — t)
Выберите правильный ответ
(sin +2cos- tg)*sin
—
Текущий контроль «Синус, косинус. Тангенс и котангенс»
УЭ1 Формулируем определение синуса и косинуса при помощи числовой окружности, основное тригонометрическое тождество
Выполнить карточку – работа с учебником «Синус и косинус»
1. Изучить определения синуса и косинуса числа, записать в тетрадь определения с выводом.
2. Используя определения синуса и косину числа, сделать вывод о знаках синуса и косинуса числа по координатным четвертям.
3. Используя уравнение числовой окружности установить связь между синусом и косинусом числа.
4. Рассмотреть доказательство свойств синуса и косинуса при помощи числовой окружности на основании определения синуса и косинуса числа.
УЭ2 Учимся находить значения sint и cost, решаем простейшие уравнения и неравенства, применяя свойства
Задание 2.1
Вычислить sint и cost, если
t=;
t=;
t=;
t=
t=;
t=;
Обозначить на числовой окружности точки t, удовлетворяющие уравнению cost= , и запишите, какими числами t они соответствуют
Задание 2.2 Выполнить задание из задачника №6.16 (б,г) №618 (а,в) №630 (г)
Задание 2.3 Выполнить задание из задачника №6.39 №640 (б,г)
УЭ3 Формулируем определение тангенса и котангенса и свойства
Выполнить карточку – работа с учебником «Тангенс и котангенс»
1. Изучить определения тангенса и котангенса числа, записать в тетрадь определения с выводом.
2. Используя определения тангенса и котангенса числа, сделать вывод о знаках тангенса и котангенса числаа по координатным четвертям.
3. Рассмотреть доказательство свойств тангенса и котангенса числа при помощи числовой окружности на основании определения тангенса и котангенса числа.
УЭ4 Учимся находить значения тангенса и котангенса, решаем простейшие уравнение и неравенства
Задание 4.1
Вычислить
tg;
ctg ;
ctg ;
ctg ;
tg;
tg;
tg;
ctg 0;
tg 0;
Итоговый контроль «Синус, косинус. Тангенс и котангенс»
Вычислите
sin ;
tg ;
cos — ctg;
sin 510 — sin 270 ctg270;
Решить уравнение:
а) sin t=;
b) cos t=;
с) cos t;
d) sin (;
Упростить выражения — ;
Известно, что tg( Найдите: sin (.
Расположите в порядке возрастания следующие числа: a=sin9,5; b=sin7,5; c=cos7,5; d=cos9.
1 и 3 задание обязательно на «3»
4 задание на «4»
5 задание на «5»
infourok.ru
Последнее обновление: 02.05.2017
Встроенный модуль math в Python предоставляет набор функций для выполнения математических, тригонометрических и логарифмических операций. Некоторые из основных функций модуля:
pow(num, power): возведение числа num в степень power
sqrt(num): квадратный корень числа num
ceil(num): округление числа до ближайшего наибольшего целого
floor(num): округление числа до ближайшего наименьшего целого
factorial(num): факториал числа
degrees(rad): перевод из радиан в градусы
radians(grad): перевод из градусов в радианы
cos(rad): косинус угла в радианах
sin(rad): синус угла в радианах
tan(rad): тангенс угла в радианах
acos(rad): арккосинус угла в радианах
asin(rad): арксинус угла в радианах
atan(rad): арктангенс угла в радианах
log(n, base): логарифм числа n по основанию base
log10(n): десятичный логарифм числа n
Пример применения некоторых функций:
import math # возведение числа 2 в степень 3 n1 = math.pow(2, 3) print(n1) # 8 # ту же самую операцию можно выполнить так n2 = 2**3 print(n2) # возведение в квадрат print(math.sqrt(9)) # 3 # ближайшее наибольшее целое число print(math.ceil(4.56)) # 5 # ближайшее наименьшее целое число print(math.floor(4.56)) # 4 # перевод из радиан в градусы print(math.degrees(3.14159)) # 180 # перевод из градусов в радианы print(math.radians(180)) # 3.1415..... # косинус print(math.cos(math.radians(60))) # 0.5 # cинус print(math.sin(math.radians(90))) # 1.0 # тангенс print(math.tan(math.radians(0))) # 0.0 print(math.log(8,2)) # 3.0 print(math.log10(100)) # 2.0
Также модуль math предоставляет ряд встроенных констант, такие как PI и E:
import math radius = 30 # площадь круга с радиусом 30 area = math.pi * math.pow(radius, 2) print(area) # натуральный логарифм числа 10 number = math.log(10, math.e) print(number)
metanit.com