8-900-374-94-44
[email protected]
Slide Image
Меню

Модуль синуса – Тригонометрические уравнения с модулем

Тригонометрические уравнения с модулем

Разделы: Математика


Раскрытие модуля по определению

Модулем числа а называется само это число а, если а ≥ 0, и число -а, если а < 0.

Согласно этому определению, в уравнениях модуль можно раскрывать следующим образом:

№1. Решить уравнение.

№2. Решить уравнение.

Решаем уравнение первой системы:

2sin2x-sinx=0

sinx(2sinx-1)=0

sinx=0 или sinx= (оба уравнения удовлетворяют условию sinx≥0)

Решаем уравнение второй системы, и выбирая те, которые удовлетворяют условию sinx<0,

получаем х =

Серии ответов можно записать объединяя

№3. Решить уравнение.

Решение. Раскрывая знак модуля, получаем системы:

Решая уравнение первой системы, получим Из значений нужно выбрать те, которые удовлетворяют неравенству системы х ≥ -3. Это при n=0, 1, 2, 3…

Решая уравнение второй системы, получим Из этого множества значений нужно выбрать те, которые удовлетворяют неравенству х < -3. Это значения при m= -1, -2, -3…

Ответ: при n=0, 1, 2, 3…; при m = -1, -2, -3…и х = -3

№4 Решить уравнение.

Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, поэтому, раскрывая знак модуля, получим только одну систему

Решаем уравнение системы:

соsx=cosx(x+1,5)2

cosx(1-(x+1,5)2)=0

cosx=0 или x+1,5=1 или x-1,5 = -1

х= -0,5 х = -2,5

Условию cosx≥0 не удовлетворяет х = -2,5 (3 четверть)

Ответ:

№5. Найти все решения уравнения на отрезке [0;4].

Решение. Перепишем уравнение в виде

Раскрывая знак модуля, получаем системы:

Решая первую систему, получим

 Из серии в нужном промежутке [0;4] лежат точки 0 и ; , а из серии

Решая вторую систему, получим систему , которая не имеет решений.

Ответ:

№6 Решить уравнение.

Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, тогда 2х-4≥0, 2(х-2)≥0 , х-2≥0. Если х-2≥0. то при раскрытия правого модуля по определению рассматривается только один случай:

х=2    

Выберем те корни, которые удовлетворяют условию: х-2≥0;     х≥2

№7. Решить уравнение.

Решение. ОДЗ:

Раскрывая знак модуля, получаем системы:

Решая первую систему, получим cos2x=0, и из решений надо выбрать те, при которых sinx>0. На круге видно, что это точки вида

Решая вторую систему, получим уравнение соs2x=2,не имеющее решений.

Ответ:

№8. Решить уравнение.

Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:

Обратная замена:

Ответ:

№9. Решить уравнение.

Решение. Выражение под первым модулем всегда неотрицательно, и его можно сразу отбросить. Второй модуль раскрываем по определению.

Решить уравнение первой система аналитически невозможно, исследуем поведение левой и правой частей на данных промежутках. Функция f(x) =-x2+15x-45=(-x2+15x-44)-1≤-1

при причем, f(х)= -1 в точках 4 и 11.Левая часть cos при любых х, причем, в точках 4 и 11 не равна -1, значит, система решений не имеет.

При решении уравнения второй системы получается:

В промежутке только одно целое нечетное число 3, т.е

Ответ: 9

Другие способы раскрытия модулей.

Уравнения вида можно решать и следующим способом:

№10. Решить уравнение.

Решение. Левая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и правая часть, тогда cosx <0, тогда уравнение равносильно системе

Рассмотрим две системы:

Решая уравнение первой системы получим: cosx-2sinx=0

Учитывая, что cosx≤0, x = arctg Вторая система решений не имеет.

Ответ: x = arctg.

№11. Решить уравнение.

cosx

Решение.

№12. Решить уравнение.

Решение. Уравнение равносильно sinx = ± cosx

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения:

21.02.2008

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Модуль в тригонометрических уравнениях: найти и обезвредить

Достаточно часто в задачах повышенной сложности встречаются тригонометрические уравнения, содержащие модуль. Большинство из них требуют эвристического подхода к решению, который совсем не знаком большинству школьников.

Предлагаемые ниже задачи призваны познакомить вас с наиболее характерными приемами решения тригонометрических уравнений содержащих модуль.

Задача 1. Найти разность (в градусах) наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения 1 + 2sin x · |cos x| = 0.

Решение.

Раскроем модуль:

1) Если cos x ≥ 0, то исходное уравнение примет вид 1 + 2sin x · cos x = 0.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла, получим:

1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z. Так как cos x ≥ 0, то x = -π/4 + 2πk, k € Z.

2) Если cos x < 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:

1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n € Z;

x = π/4 + πn, n € Z. Так как cos x < 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) Наибольший отрицательный корень уравнения: -π/4; наименьший положительный корень уравнения: 5π/4.

Искомая разность: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 · 180°/2 = 270°.

Ответ: 270°.

Задача 2. Найти (в градусах) наименьший положительный корень уравнения |tg x| + 1/cos x = tg x.

Решение.

Раскроем модуль:

1) Если tg x ≥ 0, тогда

tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x = 0.

В полученном уравнении корней нет.

2) Если tg x < 0, тогда  

-tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x – 2sin x / cos x = 0;

(1 – 2sin x) / cos x = 0;

 1 – 2sin x = 0 и cos x ≠ 0.

С помощью рисунка 1 и условия tg x < 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) Наименьший положительный корень уравнения 5π/6. Переведем это значение в градусы:

 5π/6 = 5 · 180°/6 = 5 · 30° = 150°.

Ответ: 150°.

Задача 3. Найти количество различных корней уравнения sin |2x| = cos 2x на промежутке [-π/2; π/2].

Решение.

Запишем уравнение в виде sin|2x| – cos 2x = 0 и рассмотрим функцию y = sin |2x| – cos 2x. Так как функция является четной, то найдем ее нули при x ≥ 0.

sin 2x – cos 2x = 0; разделим обе части уравнения на cos 2x ≠ 0, получим:

tg 2x – 1 = 0;

tg 2x = 1;

2x = π/4 + πn, n € Z;

x = π/8 + πn/2, n € Z.

Воспользовавшись четностью функции, получим, что корнями исходного уравнения являются числа вида

± (π/8 + πn/2), где n € Z.

Промежутку [-π/2; π/2] принадлежат числа: -π/8; π/8.

Итак, два корня уравнения принадлежат заданному промежутку.

Ответ: 2.

Данное уравнения можно было бы решить и раскрытием модуля.

Задача 4. Найти количество корней уравнения sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin2 x = sin2 x на промежутке [-π; 2π].

Решение.

1) Рассмотрим случай, когда 2cos x – 1 > 0, т.е. cos x > 1/2, тогда уравнение принимает вид:

sin x – sin2 x = sin2 x;

sin x – 2sin2 x = 0;

sin x(1 – 2sin x) = 0;

sin x = 0 или 1 – 2sin x = 0;

sin x = 0 или sin x = 1/2.

Используя рисунок 2 и условие cos x > 1/2, найдем корни уравнения:

x = π/6 + 2πn или x = 2πn, n € Z.

2) Рассмотрим случай, когда 2cos x – 1 < 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

sin x + sin2 x = sin2 x;

sin x = 0;

x = 2πn, n € Z.

Используя рисунок 2 и условие cos x < 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

Объединим два случая, получим:

x = π/6 + 2πn или x = πn.

3) Промежутку [-π; 2π] принадлежат корни: π/6; -π; 0; π; 2π.

Таким образом, заданному промежутку принадлежат пять корней уравнения.

Ответ: 5.

Задача 5. Найти количество корней уравнения (x – 0,7)2 |sin x| + sin x = 0 на промежутке [-π; 2π].

Решение.

1) Если sin x ≥ 0, то исходное уравнение принимает вид (x – 0,7)2 sin x + sin x = 0. После вынесения общего множителя sin x за скобки, получим:

sin x((x – 0,7)2 + 1) = 0; так как (x – 0,7)2 + 1 > 0 при всех действительных x, то sinx = 0, т.е.  x = πn, n € Z.

2) Если sin x < 0, то -(x – 0,7)2 sin x + sin x = 0;

sin x((x – 0,7)2 – 1) = 0;

sinx = 0 или (x – 0,7)2 + 1 = 0. Так как  sin x < 0, то (x – 0,7)2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:

x – 0,7 = 1 или x – 0,7 = -1, а значит x = 1,7 или x = -0,3.

С учетом условия sinx < 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) > 0, значит только число -0,3 является корнем исходного уравнения.

3) Промежутку [-π; 2π] принадлежат числа: -π; 0; π; 2π; -0,3.

Таким образом, уравнение имеет пять корней на заданном промежутке.

Ответ: 5.

Заняться подготовкой к урокам или экзаменам можно при помощи различных образовательных ресурсов, которые есть в сети. В настоящее время любому человеку просто необходимо использовать новые информационные технологии, ведь правильное, а главное уместное их применение будет способствовать повышению мотивации в изучении предмета, повысит интерес и поможет лучше усвоить необходимый материал. Но не стоит забывать о том, что компьютер не учит думать, полученную информацию обязательно необходимо обрабатывать, понимать и запоминать. Поэтому вы можете обратиться за помощью к нашим онлайн репетиторам, которые помогут вам разобраться с решением интересующих вас задач.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Тригонометрическое уравнение с модулем

Решим тригонометрическое уравнение с модулем:

Так как уравнение содержит модуль, нам нужно этот модуль раскрыть по определению модуля.

Рассмотри два случая:

а) -  в этом случае модуль раскрываем с тем же знаком.

б) -  в этом случае модуль раскрываем с противоположным  знаком.

Итак.

а)

Раскрываем модуль с тем же знаком и получаем уравнение

Представим сумму косинусов в виде произведения, а правую часть уравнения разложим по формуле синуса двойного угла.

Перенесем все влево и вынесем за скобки

Отсюда или

при

Решим второе уравнение:

Введем замену переменной:

Решим квадратное уравнение относительно :

Умножим на -1:

Отсюда или

Нанесем все решения на тригонометрический круг и вспомним, что полученное уравнение "действительно" только при , то есть в первой и четвертой четвертях:

Итак, если , корни уравнения

и

Рассмотрим второй случай:

б)

В этом случае, так как подмодульное выражение отрицательно, раскрываем модуль с противоположным знаком:

Разность косинусов представим в виде произведения.

Вынесем за скобки . Получим:

Отсюда

или

Нанесем корни на тригонометрический круг и отберем те значения, при которых выполняется условие :

Получим решения:

Объединим оба случая и получим окончательный

Ответ:

Можно объединить первую и последнюю серии решений, и тогда получим такой

Ответ:



И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Тригонометрические функции комплексного числа

В статье рассматривается  способы расчета и выдача значений  основных тригонометрических функций 

 

синус комплексного числа

Если представить  комплексное число  как 

То синус числа, выраженный через гиперболические функции

 

косинус комплексного числа

Если представить  

То косинус числа, выраженный через гиперболические функции

Введите в поле  число, комплексное или вещественное и  программа выдаст результат

http://abak.pozitiv-r.ru

http://abak.pozitiv-r.ru

тангенс комплексного числа

Если представить  

То тангенс числа, выраженный через синус и косинус

или  

коТАНГЕНС КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Котангенс комплексного числа также  легко решается

 

 

  • Умножение двух матриц с вещественными коэфициентами >>

abakbot.ru

Графики тригонометрических функций. Синусоида | Подготовка к ЕГЭ по математике

Категория: Справочные материалыФункции и графики

График функции y=sinx

 

Если вы умеете работать с тригонометрическим кругом, то вам не составит труда построить график функции .

Переносим  все основные значения углов, представленные на круге, и соответствующие им значения синуса на координатную плоскость.

По оси абсцисс откладываем угол в радианах, по оси ординат — значения синуса угла.

 

Нанесенные на координатную плоскость точки подсказывают нам плавную кривую.  Это и есть график функции на

Поскольку на тригонометрическом круге значения синуса повторяются через каждый круг (несколько кругов), то не составит труда построить график функции и на всей числовой прямой.

Указанный выше фрагмент графика синуса будет для нас являться как бы штампом. Тиражируя этот фрагмент, мы и получим вот такой график функции :

График функции называется синусоидой. График симметричен относительно начала координат.

 

График функции y=cosx

 

Точно также, как мы строили график при помощи тригонометрического круга, мы могли бы построить и .

Поступим несколько иначе.

Согласно формулам приведения .

Из чего мы делаем вывод, что график функции будет получен смещением графика функции на   единиц влево.

То  есть график функции  – это все таже синусоида, но теперь уже, симметричная относительно оси ординат.

 

Преобразования синусоиды

 

Приглашаю посмотреть  небольшой видеоролик о том, как  меняется поведение синусоиды в зависимости от  умножения аргумента или функции на некоторое число или от прибавления к аргументу или функции некоторого числа.

egemaximum.ru

Модуль по теме синус

Модуль «Синус, косинус. Тангенс, котангенс» (3ч)

УЭ

Название УЭ

Рекомендации по усвоению материала

0

Цель: Сформулировать определения тригонометрических функций,  основное тригонометрическое тождество и свойства тригонометрических функций; продемонстрировать умение вычислять значения тригонометрических функций различных углов и решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

Необходимо знать: определения и свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса, формулы приведения

Уметь: решать тригонометрические уравнения и неравенства

1

Формулируем определение синуса и косинуса при помощи числовой окружности, основное тригонометрическое тождество

Цель: сформулировать определение

синуса и косинуса, основное тригонометрическое тождество и свойства синуса и косинуса

    1. Выполнить входной контроль

    2. Выполнить карточку – работа с учебником «Синус и косинус»

Выполните тест – входной контроль с помощью программы MyTest. оценивание данной работы узнаете по окончанию теста

Прочитайте § 6 учебника Выполните в тетради задания карточки – работа с учебником «Синус и косинус» на оценку

2

Учимся находить значения sint и cost, решаем простейшие уравнения и неравенства, применяя свойства

Цель: Используя свойства синуса и косинуса, формулы приведения демонстрируем умение вычислять значения синуса и косинуса различных углов и решать простейшие уравнения и неравенства

Выполнить задание 2.1

Выполнить задание 2.2

Выполнить задания 2.3

В § 6 учебника рассмотрите разобранные примеры с решениями. При необходимости задайте ваши вопросы ученикам класса или учителю.

Задание 2.1, 2.2, 2.3 – самостоятельная работа, которую надо выполнить на оценку.

3

Формулируем определение тангенса и котангенса и свойства

Цель: сформулировать определение

тангенса и котангенса и их свойства

  1. Выполнить карточку – работа с учебником «Тангенс и котангенс»

Прочитайте § 6 учебника. Выполните в тетради задания карточки – работа с учебником «Тангенс и котангенс» на оценку

4

Учимся находить значения тангенса и котангенса, решаем простейшие уравнение и неравенства

Цель: продемонстрировать умения вычислять значения тангенса и котангенса, применяя свойства и формулы приведения

Выполнить задание 4.1

Задание 4.1– самостоятельная работа, которую надо выполнить на оценку

Вариант возьмите у учителя

на «3»выполнить 1задание –обязательный уровень,

на «4» 1; 2 задание посложнее,

на «5» надо выполнить все три задания

5

Выбор домашнего задания

Цель: выбрать и выполнить дома не менее 3 заданий, составленных по трем уровням сложности, предложенных учителем.

Входной контроль «Синус, косинус. Тангенс и котангенс»

  1. Вычислить:

  1. sin

  2. cos

  3. tg 0

  1. Найти значение выражения:

4cos ctg

  1. Известно, что tg t= . Вычислите tg (2 - t)

  2. Выберите правильный ответ

(sin +2cos- tg)*sin

  1. -

Текущий контроль «Синус, косинус. Тангенс и котангенс»

УЭ1 Формулируем определение синуса и косинуса при помощи числовой окружности, основное тригонометрическое тождество

Выполнить карточку – работа с учебником «Синус и косинус»

1. Изучить определения синуса и косинуса числа, записать в тетрадь определения с выводом.

2. Используя определения синуса и косину числа, сделать вывод о знаках синуса и косинуса числа по координатным четвертям.

3. Используя уравнение числовой окружности установить связь между синусом и косинусом числа.

4. Рассмотреть доказательство свойств синуса и косинуса при помощи числовой окружности на основании определения синуса и косинуса числа.

УЭ2 Учимся находить значения sint и cost, решаем простейшие уравнения и неравенства, применяя свойства

Задание 2.1

  1. Вычислить sint и cost, если

  1. t=;

  2. t=;

  3. t=;

  4. t=

  5. t=;

  6. t=;

  1. Обозначить на числовой окружности точки t, удовлетворяющие уравнению cost= , и запишите, какими числами t они соответствуют

Задание 2.2 Выполнить задание из задачника №6.16 (б,г) №618 (а,в) №630 (г)

Задание 2.3 Выполнить задание из задачника №6.39 №640 (б,г)

УЭ3 Формулируем определение тангенса и котангенса и свойства

Выполнить карточку – работа с учебником «Тангенс и котангенс»

1. Изучить определения тангенса и котангенса числа, записать в тетрадь определения с выводом.

2. Используя определения тангенса и котангенса числа, сделать вывод о знаках тангенса и котангенса числаа по координатным четвертям.

3. Рассмотреть доказательство свойств тангенса и котангенса числа при помощи числовой окружности на основании определения тангенса и котангенса числа.

УЭ4 Учимся находить значения тангенса и котангенса, решаем простейшие уравнение и неравенства

Задание 4.1

  1. Вычислить

  1. tg;

  2. ctg ;

  3. ctg ;

  4. ctg ;

  5. tg;

  6. tg;

  7. tg;

  8. ctg 0;

  9. tg 0;

Итоговый контроль «Синус, косинус. Тангенс и котангенс»

  1. Вычислите

  1. sin ;

  2. tg ;

  3. cos - ctg;

  4. sin 510 - sin 270 ctg270;

  1. Решить уравнение:

а) sin t=;

b) cos t=;

с) cos t;

d) sin (;

  1. Упростить выражения - ;

  2. Известно, что tg( Найдите: sin (.

  3. Расположите в порядке возрастания следующие числа: a=sin9,5; b=sin7,5; c=cos7,5; d=cos9.

1 и 3 задание обязательно на «3»

4 задание на «4»

5 задание на «5»

infourok.ru

Python | Модуль math

Модуль math

Последнее обновление: 02.05.2017

Встроенный модуль math в Python предоставляет набор функций для выполнения математических, тригонометрических и логарифмических операций. Некоторые из основных функций модуля:

  • pow(num, power): возведение числа num в степень power

  • sqrt(num): квадратный корень числа num

  • ceil(num): округление числа до ближайшего наибольшего целого

  • floor(num): округление числа до ближайшего наименьшего целого

  • factorial(num): факториал числа

  • degrees(rad): перевод из радиан в градусы

  • radians(grad): перевод из градусов в радианы

  • cos(rad): косинус угла в радианах

  • sin(rad): синус угла в радианах

  • tan(rad): тангенс угла в радианах

  • acos(rad): арккосинус угла в радианах

  • asin(rad): арксинус угла в радианах

  • atan(rad): арктангенс угла в радианах

  • log(n, base): логарифм числа n по основанию base

  • log10(n): десятичный логарифм числа n

Пример применения некоторых функций:


import math

# возведение числа 2 в степень 3
n1 = math.pow(2, 3)
print(n1)  # 8

# ту же самую операцию можно выполнить так
n2 = 2**3
print(n2)

# возведение в квадрат
print(math.sqrt(9))  # 3

# ближайшее наибольшее целое число
print(math.ceil(4.56))  # 5

# ближайшее наименьшее целое число
print(math.floor(4.56))  # 4

# перевод из радиан в градусы
print(math.degrees(3.14159))  # 180

# перевод из градусов в радианы
print(math.radians(180))   # 3.1415.....
# косинус
print(math.cos(math.radians(60)))  # 0.5
# cинус
print(math.sin(math.radians(90)))   # 1.0
# тангенс
print(math.tan(math.radians(0)))    # 0.0

print(math.log(8,2))    # 3.0
print(math.log10(100))    # 2.0

Также модуль math предоставляет ряд встроенных констант, такие как PI и E:


import math
radius = 30
# площадь круга с радиусом 30
area = math.pi * math.pow(radius, 2)
print(area)

# натуральный логарифм числа 10
number = math.log(10, math.e)
print(number)

metanit.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *