8-900-374-94-44
Как работает двоичный код
Десятичные дроби в Python хранятся в формате с плавающей точкой и представлены
типом float. Они могут быть записаны несколькими способами:
>>> 1. 1.0 >>> .1 0.1 >>> 4.2 4.2 >>> 4.2e3 # то же, что и 4.2 * 10 ** 3 == 4.2 * 1000 4200.0 >>> 4.2e-3 # то же, что и 4.2 * 10 ** (-3) == 4.2 * 0.001 0.0042
float(x)Конструкция float(x) принимает строку или целое число и возвращает число
с плавающей точкой, т.е. объект типа float. Примеры:
>>> float("1.2")
1.2
>>> float(42)
42.0
>>> float("42e3")
42000.0
Для вывода чисел с плавающей точкой, как и для вывода других объектов, может
быть использована функция print:
pi = 3.1415
print(pi)
print(f"pi = {pi}")
Также существует способ указать количество выводимых знаков после запятой:
pi = 3.1415 print(f"pi = {pi:.3f}") print(f"pi = {pi:.4f}")
При преобразовании чисел с плавающей точкой в целые дробная часть отбрасывается, округления по арифметическим правилам не выполняется:
>>> int(42.9) 42
Для решения вычислительных задач может быть полезен модуль math из
стандартной библиотеки языка Python. Для его использования нужно написать
строку import math. Для решения задач нам понадобятся число \(\pi\)
и функция извлечения квадратного корня. Примеры их использования:
import math
print(f"pi = {math.pi}")
r = math.sqrt(4)
print(f"square root of 4 = {r}")
Дан диаметр окружности \(d\). Найти ее длину по формуле \(length = \pi \cdot d\).
Дано значение температуры \(t\_f\) в градусах Фаренгейта. Определить значение этой же температуры в градусах Цельсия. Температура по Цельсию \(t\_c\) и температура по Фаренгейту \(t\_f\) связаны следующим соотношением:
\[t\_c = (t\_f — 32) \cdot \frac{5}{9}\]Найти значение функции \(y = 3x^6 — 6x^2 — 7\) при заданном значении
\(x\).
2\).
Дано значение температуры в градусах Цельсия. Вычислить значение этой же температуры в градусах Фаренгейта. Формулу вывести самостоятельно.
Дан объем данных в мегабайтах. Перевести его в гигабайты и килобайты. Результат вывести с точностю до двух знаков после запятой.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Недавно я просматривал некоторые данные, которые я только что смоделировал в нашем хранилище данных, чтобы проверить, все ли выглядит правильно, и обнаружил кое-что странное: я видел некоторые события для изменения значения, где предыдущее и новое значения были равны.
Наш расчет умен; мы сравниваем вновь вычисленное значение с тем, которое мы вычислили ранее, и сохраняем его только в том случае, если оно действительно изменилось , увеличивая при этом номер версии.
Я видел, что у некоторых статистических данных, которые были у нас на складе, был очень высокий номер версии. Это означало, что произошло много изменений, и это число было подозрительно большим . Вот пример одного из событий:
Мантисса может иметь знак. Знак мантиссы − это знак всего числа. При записи и порядок, и мантисса представляются в естественной форме, как показано в таблице:
Например, можно (в машинах так и делается) записать 103 · 0.118375 = 0.118375e3. Формула, записанная выражением 1.3, описывает нормальную (как уже было сказанно), научную или полулогарифмическую запись числа, т.к. половина числа записано нормально, а половина логарифмически.
Соответственно все остальные изображения этого же числа называются ненормализованными.
Так при умножении двух чисел требуется мантиссы операндов перемножить, а их порядки алгебраически сложить.
В режиме с фиксированной точкой
Заметим, что знак числа имеет двоичную природу, так как может принимать только два значения: плюс или минус. В машинах принято плюс изображать нулем, а минус − единицей, хотя в принципе можно сделать и наоборот. Посмотрим, какие числа можно записать в любую из ячеек нашей машины:
п.т.: от | ±10+99 | до | ±10-99 | . Конечно, теоретически в результате вычислений может образоваться число, и не входящее в машинный диапазон. Однако практически такое событие маловероятно, а для некоторых инженерных, экономических и других задач вообще невозможно.
{
"версия": "933",
"modified_at": "2021-11-09 12:40:04.427087 UTC",
"новые_значения": {
"avg_compliance_percentage": "90.
34326",
},
"пред_значения": {
"avg_compliance_percentage": "90.34326",
}
},
Изменений не было, сохранялась еще одна версия!
Быстрая перепроверка нашего кода убедила меня, что для его сохранения требуется, чтобы предыдущее и новое значения были разными. Эта проверка нигде не пропускалась! Так что же происходило?
Они не были равныЯ поспешил проверить данные в нашей производственной базе данных, возможно, это была проблема с тем, как мы отправляли данные на склад. Я искал ту же статистику и нашел , они на самом деле не идентичны . И у них также было больше десятичных знаков.
34326",
},
"пред_значения": {
"avg_compliance_percentage": "90.34326",
}
},
{
"current_avg_compliance_percentage": "90.34326374227855",
"previous_avg_compliance_percentage": "90.34326374227852"
}
Прямо передо мной была огромная 0.00000000000003 разница. (3E-14)
Так это все? Задача решена? Версии на самом деле разные, и мы просто не выводим достаточной точности в наше хранилище данных?
Ну да, но на самом деле нет.
Мы отправляем данные в хранилище как число с плавающей запятой с 32-битной точностью вместо двойной (64-битной), поэтому это объясняет, что в хранилище данных меньше цифр.
Но я знал, что вычисляемое конкретное значение не могло измениться так незначительно. В этом контексте значение представляет собой процент соответствия, и наименьшее возможное изменение зависит от количества поставщиков, которые есть у клиента.
minChange = 100/(numSuppliers * numControls)
Поскольку количество активных элементов управления является известным нам значением (203 на момент написания статьи), клиенту необходимо иметь не менее 16 420 361 247 948 (16 триллионов+) поставщиков. Теперь сеть Risk Ledger быстро растет, но я почти уверен, что у нас нет клиента с 16 триллионами поставщиков (что равняется 160 поставщиков для каждого человека, когда-либо жившего на этой планете).
Глядя на эти переменные с таким количеством знаков после запятой, я начал вспоминать свои занятия по численному анализу и то, как действительные числа представляются в двоичном формате.
Ясно, что такого небольшого изменения в проценте соответствия быть не могло, поэтому скорее всего фактического изменения не было . Может ли это быть примером неточности чисел с плавающей запятой?
Копать глубжеПервая гипотеза заключалась в том, что разные представления действительных чисел в нашем коде и в нашей базе данных вызывали неточности, которые приводили к сбою проверки на равенство.
Мы рассчитываем процент как значение float64 в Go и сохраняем его как десятичное число в PostgreSQL .
Онлайн-исследования быстро выявили некоторые тревожные темы, такие как следующая проблема GitHub: https://github.com/lib/pq/issues/648.
Но пока я быстро смотрел, как мы на самом деле делаем преобразования типов, я начал думать… Если мы предположим, что они были рассчитаны как одно и то же значение, но при сохранении или получении их они изменились, не все они изменили бы так же и не показывают разницы в базе?
Может быть, вместо этого наша логика вычислений каждый раз возвращала другое значение , даже если ничего не менялось? Как значения могут отличаться, когда мы просто вычисляем среднее значение (накопление значений и последующее деление на их количество)?
Я решил разработать тест нашего алгоритма.
Тест вызовет наш метод вычисления среднего с фрагментом случайно сгенерированных значений 10 000 раз, проверяя после каждого раза, совпадают ли результаты.
Разницы не было.
Благодаря какой-то гениальности я решил перемешивать срезы перед каждым вычислением, так как обычно они не всегда извлекаются в одном и том же порядке. К моему удивлению, результаты не равны !
Различия были очень, очень малы, того же порядка, что и , что я исследовал в начале… Бинго.
ПроблемаЯ обнаружил, что это ошибка с плавающей запятой.
Поскольку действительные числа не могут быть точно представлены в фиксированном пространстве, при работе с числами с плавающей запятой результат может не быть полностью представлен с требуемой точностью. Эта неточность приводит к потере информации.
С действительными числами операция сложения ассоциативна . По сути, (a + b) + c = a + (b + c)
Но с числами с плавающей запятой, если мы начнем их суммировать в разном порядке, неточности появляются и накапливаются по-разному, давая другой конечный результат.
Если вы хотите увидеть пример на Go Playground, проверьте это: https://play.golang.org/p/ZI1nP8An5Nq
РешениеКак только проблема будет выявлена и понята, она становится тривиальным для решения. В случае ошибок с плавающей запятой существует множество способов их устранения.
Первое, что я сделал, это заставил как можно больше работать с целыми числами. В этом случае целые числа могут использоваться во время шагов суммирования, а числа с плавающей запятой не требуются до последнего шага, когда происходит деление. Таким образом, мы избегаем переноса ошибок между этапами расчета.
Второе, что я сделал, это округлил результат до определенного знака после запятой. Мы отображаем усеченное целое число в пользовательском интерфейсе, так почему же мы сохраняем 13 знаков после запятой (или больше) в нашей базе данных? Я решил, что мы можем просто округлить до четвертого знака после запятой, что более чем достаточно для наших нужд.
Однако округление чисел с плавающей запятой до определенной точности является более сложной задачей, чем я первоначально думал, как упоминалось в этом сообщении от Cockroach Labs. Для нашего конкретного случая я решил использовать библиотеку montanaflynn/stats, которая работает точно, когда желаемая точность не слишком высока. Если бы наш проект действительно требовал высокой точности, нам пришлось бы перейти к другому представлению, такому как math/big.Float.
После этих изменений мой тест проходил, и я мог отдыхать, зная, что мы перестанем хранить бессмысленные строки без изменений в нашей базе данных.
Часто задаваемые вопросы Число с плавающей запятой — это тип числа, используемый в компьютерном программировании для представления действительных чисел с высокой степенью точности. Это способ выражения чисел с дробным компонентом, например 3,14159, таким образом, чтобы компьютер мог их хранить и обрабатывать.
Числа с плавающей запятой используются в самых разных приложениях, включая научные вычисления, финансовый анализ и рендеринг трехмерной графики.
Числа с плавающей запятой используются в самых разных приложениях, включая научные вычисления, финансовый анализ и визуализацию трехмерной графики.
Числа с плавающей запятой работают путем представления действительных чисел в виде дроби (мантиссы) и показателя степени в двоичном представлении. Мантисса представляет значащие цифры числа, а показатель степени представляет величину числа. Двоичное представление позволяет эффективно выполнять арифметические операции над действительными числами, но также может привести к ошибкам округления из-за конечной точности представления.
Под капотом
Билл Веннерс, JavaWorld |
Добро пожаловать в очередной выпуск Под капотом .
Эта колонка призвана дать Java-разработчикам представление о скрытой красоте их работающих Java-программ. Колонка этого месяца продолжает обсуждение, начатое в прошлом месяце, набора инструкций байт-кода виртуальной машины Java (JVM). В этой статье рассматривается арифметика с плавающей запятой в JVM и рассматриваются байт-коды, которые выполняют арифметические операции с плавающей запятой. В последующих статьях будут обсуждаться другие члены семейства байткодов.
Поддержка операций с плавающей запятой в JVM соответствует стандарту IEEE-754 1985 для операций с плавающей запятой. Этот стандарт определяет формат 32-битных и 64-битных чисел с плавающей запятой и определяет операции над этими числами. В JVM арифметика с плавающей запятой выполняется для 32-битных чисел с плавающей запятой и 64-битных чисел типа double. Для каждого байт-кода, выполняющего арифметические действия с числами с плавающей запятой, существует соответствующий байт-код, выполняющий ту же операцию с числами типа double.
Число с плавающей запятой состоит из четырех частей: знака, мантиссы, системы счисления и показателя степени. Знак либо 1, либо -1. Мантисса, всегда положительное число, содержит значащие цифры числа с плавающей запятой. Показатель степени указывает на положительную или отрицательную степень системы счисления, на которую следует умножать мантисса и знак. Четыре компонента объединяются следующим образом, чтобы получить значение с плавающей запятой:
Числа с плавающей запятой имеют несколько представлений, потому что всегда можно умножить мантисса любого числа с плавающей запятой на некоторую степень системы счисления и изменить показатель степени, чтобы получить исходное число. Например, число -5 может быть одинаково представлено любой из следующих форм в системе счисления 10:
| Знак | Мантисса | 901 83 Основание экспонента|
|---|---|---|
| -1 | 50 | 10 -1 |
| -1 | 5 | 10 0 |
| -1 | 0,5 | 10 1 |
| -1 | 0,05 | 10 2 |
Для каждого числа с плавающей запятой существует одно представление, которое называется быть нормализованным.
Число с плавающей запятой нормализуется, если его мантисса находится в пределах диапазона, определяемого следующим соотношением:
У нормализованного числа с плавающей запятой с основанием 10 десятичная точка находится сразу слева от первой ненулевой цифры в мантиссе. Нормализованное представление -5 с плавающей запятой равно -1 * 0,5 * 10 1 . Другими словами, мантисса нормализованного числа с плавающей запятой не имеет ненулевых цифр слева от десятичной запятой и ненулевой цифры сразу справа от десятичной запятой. Любое число с плавающей запятой, не подпадающее под эту категорию, называется 9.0113 денормализованное . Обратите внимание, что число ноль не имеет нормализованного представления, потому что у него нет отличной от нуля цифры, которую можно поставить сразу справа от десятичной точки. «Зачем нормализоваться?» обычное восклицание среди нулей.
Числа с плавающей запятой в JVM используют основание из двух.
Таким образом, числа с плавающей запятой в JVM имеют следующий вид:
Мантисса числа с плавающей запятой в JVM выражается как двоичное число. У нормализованной мантиссы есть двоичная точка (эквивалент десятичной точки по основанию 2) сразу слева от старшей ненулевой цифры. Поскольку в двоичной системе счисления всего две цифры — ноль и единица, — самая значащая цифра нормализованной мантиссы всегда равна единице.
Самый значащий бит числа с плавающей запятой или двойного числа — это бит знака. Мантисса занимает 23 младших бита числа с плавающей запятой и 52 младших бита двойного числа. Показатель степени, 8 бит в вещественном числе и 11 бит в двойном, находится между знаком и мантиссом. Формат float показан ниже. Бит знака показан как «s», биты экспоненты показаны как «e», а биты мантиссы показаны как «m»:0181
Знаковый бит нуля указывает на положительное число, а знаковый бит единицы указывает на отрицательное число.
Мантисса всегда интерпретируется как положительное число с основанием два. Это не число с дополнением до двух. Если бит знака равен единице, значение с плавающей запятой отрицательное, но мантисса по-прежнему интерпретируется как положительное число, которое необходимо умножить на -1.
Поле экспоненты интерпретируется одним из трех способов. Показатель всех единиц указывает, что число с плавающей запятой имеет одно из специальных значений плюс или минус бесконечность или «не число» (NaN). NaN — это результат определенных операций, таких как деление нуля на ноль. Показатель степени всех нулей указывает на денормализованное число с плавающей запятой. Любой другой показатель указывает на нормализованное число с плавающей запятой.
Мантисса содержит один дополнительный бит точности помимо тех, которые появляются в битах мантиссы. Мантисса числа с плавающей запятой, занимающая всего 23 бита, имеет точность 24 бита. Мантисса двойного числа, занимающая 52 бита, имеет точность 53 бита.
Самый значащий бит мантиссы предсказуем и поэтому не включается, поскольку показатель степени числа с плавающей запятой в JVM указывает, нормализовано ли число. Если экспонента состоит из нулей, число с плавающей запятой денормализовано, и известно, что старший бит мантиссы равен нулю. В противном случае число с плавающей запятой нормализуется, и известно, что старший бит мантиссы равен единице.
JVM не генерирует исключений в результате любых операций с плавающей запятой. Специальные значения, такие как положительная и отрицательная бесконечность или NaN, возвращаются в результате подозрительных операций, таких как деление на ноль. Экспонента всех единиц указывает на особое значение с плавающей запятой. Показатель всех единиц с мантиссой, все биты которой равны нулю, указывает на бесконечность. Знак бесконечности указывается битом знака. Показатель всех единиц с любой другой мантиссой интерпретируется как «не число» (NaN). JVM всегда создает одну и ту же мантисса для NaN, состоящую из нулей, за исключением самого старшего бита мантиссы, который появляется в числе.
Эти значения показаны для числа с плавающей запятой ниже:
| Значение | Биты с плавающей запятой (знаковая экспонента мантисса) |
|---|---|
| +Infin ity | 0 11111111 00000000000000000000000 |
| -бесконечность | 1 11111111 0000000000000000000000000 |
| NaN | 1 11111111 100000000000000000000000 |
Показатели, которые не являются ни единицами, ни нулями, указывают на степень двойки, на которую умножается нормализованная мантисса. Степень двойки можно определить, интерпретируя биты экспоненты как положительное число, а затем вычитая смещение из положительного числа. Для числа с плавающей запятой смещение равно 126. Для двойного числа смещение равно 1023.
Например, поле экспоненты в вещественном числе 00000001 дает степень двойки путем вычитания смещения (126) из поля экспоненты, интерпретируемого как положительное целое число. (1). Таким образом, степень двойки равна 1 — 126, что равно -125. Это наименьшая возможная степень двойки для поплавка. С другой стороны, поле экспоненты 11111110 дает степень двойки (254 — 126) или 128. Число 128 является наибольшей степенью двойки, доступной для числа с плавающей запятой. Несколько примеров нормализованных чисел с плавающей запятой показаны в следующей таблице:
| Значение | Биты с плавающей запятой (знаковая экспонента мантисса) | Несмещенная экспонента | 9 0191
|---|---|---|
| Наибольшее положительное (конечное) число с плавающей запятой | 0 11111110 11111111111111111111111 | 128 |
| Наибольшее отрицательное (конечное) число с плавающей запятой | 1 11111110 111111111111111111111111 | 128 |
| Наименьшее нормализованное число с плавающей запятой | 1 0000000 1 00000000000000000000000 | -125 |
| Пи | 0 10000000 10010010000111111011011 | 2 |
| Значение | Биты с плавающей запятой (знаковая экспонента мантисса) |
|---|---|
| Малый положительное (ненулевое) число с плавающей запятой | 0 00000000 000000000000000000000001 |
| Наименьшее отрицательное (не ноль) float | 1 00000000 00000000000000000000001 |
| Наибольшее денормализованное число float | 1 00000000 111111111111111111 11111 |
| Положительный ноль | 0 00000000 00000000000000000000000 |
| Отрицательный ноль | 1 00000000 00000000000000000000 0000 |
Плавающая среда Java раскрывает свою внутреннюю природу Приведенный ниже апплет позволяет вам поиграть с форматом с плавающей запятой.
Степень двойки в этом случае такая же, как наименьшая степень двойки, доступная для нормализованной мантиссы. Для поплавка это -125. Это означает, что нормализованные мантиссы, умноженные на два в степени -125, имеют поле экспоненты 00000001, а денормализованные мантиссы, умноженные на два в степени -125, имеют поле экспоненты 00000000. Допуск на денормализованные числа внизу конец диапазона показателей поддерживает постепенное снижение значимости. Если вместо этого для представления нормализованного числа использовался наименьший показатель степени, для больших чисел возникало бы опустошение до нуля. Другими словами, оставление наименьшего показателя для денормализованных чисел позволяет представлять меньшие числа. Меньшие денормализованные числа имеют меньшую точность, чем нормализованные числа, но это предпочтительнее, чем уменьшение до нуля, как только показатель степени достигает своего минимального нормализованного значения.