8-900-374-94-44
, (2.24)
. (2.25)
На рисунках 2.26 и 2.27 приведены АЧХ и ФЧХ триангулярных фильтров второго и шестого порядков.
Рисунок 2.26 – АЧХ и ФЧХ триангулярного фильтра второго порядка (N=1)
Рисунок 2.27 — АЧХ и ФЧХ триангулярного фильтра шестого порядка (N=3)
Сравнение этих характеристик с сответствующими характеристиками однородных фильтров показывает, что последовательное включение двух одинаковых однородных фильтров сужает полосу пропускания фильтра и уменьшает пульсации в полосе задерживания. ФЧХ триангулярного фильтра линейная или линейно-ломаная, как и ФЧХ однородного фильтра.
Лекция №7
На
рисунке 2.
28 показан нерекурсивный фильтр,
у которого коэффициенты системной
функции
Рисунок 2.28 – Нерекурсивный фильтр с линейной ФЧХ
.
Выразим Z – преобразование выходного сигнала фильтра через Z – преобразование входного сигнала
.
Разделив Y(z) на X(z), найдем системную функцию
.
Найдем комплексный коэффициент передачи фильтра, используя подстановку .
.
Обозначим
, (2.26)
где
Тогда АЧХ и ФЧХ (без приведения в интервал от -π до π) фильтра определятся следующими соотношениями
,
.
Так как второе слагаемое в выражении для ФЧХ — константа (0 или π), ФЧХ этого фильтра является линейно-ломаной.
Линейность ФЧХ обусловлена симметрией коэффициентов системной функции относительно середины линии задержки (симметрией импульсной характеристики фильтра).
Рассмотрим критерии устойчивости цифровых фильтров.
1.Критерий «ОВ-ОВ» («Ограниченный вход – ограниченный выход»)
Цифровой фильтр устойчив, если при ограниченном входном сигнале выходной сигнал фильтра также ограничен.
Условие ограниченности входного сигнала определяется соотношением , где , а условием ограниченности выходного сигнала является .
Непосредственное
использование этого критерия весьма
затруднительно, т.к. требует определения
значений отсчетов выходного сигнала
при всех возможных значениях отсчетов
входного сигнала.
2. Критерий оценки устойчивости по импульсной характеристике фильтра
В разделе 2.3 было доказано, что выходной сигнал фильтра представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики фильтра
.
Абсолютное значения отсчетов выходного сигнала удовлетворяет неравенству
.
При справедливо неравенство
.
Следовательно,
.
Таким образом, чтобы обеспечить выполнение условия , достаточно выполнить условие
. (2.28)
Последнее
соотношение определяет критерий
устойчивости цифрового фильтра, который
формулируется так: цифровой
фильтр устойчив, если сумма абсолютных
значений отсчетов его импульсной
характеристики конечна.
Из этого критерия следует, что все фильтры с конечной импульсной характеристикой абсолютно устойчивы.
В качестве примера воспользуемся критерием (2.28) для проверки устойчивости фильтра, импульсная характеристика которого бесконечна и описывается соотношением
,
где – положительная константа, от которой зависит скорость убывания отсчетов импульсной характеристики.
Учитывая, что , получим
.
Так как , то фильтр устойчив.
3. Критерий оценки устойчивости по системной функции фильтра
В разделе 2.4 показано, что системная функция представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики фильтра
.
Модуль системной функции удовлетворяет неравенству
.
При справедливо неравенство
.
При и при
модуль системной функции .
Последнее соотношение означает, что в
устойчивом цифровом фильтре должны
отсутствовать полюсы системной функции
в области комплексной переменной z,
которая удовлетворяет неравенству
.
Следовательно, если полюсы существуют, то в устойчивом фильтре они должны располагаться в области комплексной плоскости, для которой выполняется условие .
Поэтому критерий устойчивости, связанный с системной функцией фильтра, формулируется следующим образом: цифровой фильтр устойчив, если полюсы системной функции располагаются внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат ( ).
Оценим устойчивость фильтра, системная функция которого описывается соотношением
,
где A1= — 0.5.
Приравняем знаменатель системной функции нулю и определим корень полученного уравнения, который является координатой полюса
.
Так как , то полюс системной функции располагается внутри круга единичного радиуса. Следовательно, фильтр устойчив.
2.11. Коэффициенты системной функции устойчивого звена
второго порядка
Системная функция звена второго порядка определяется соотношением
.
Для определения полюсов системной функции приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения
Фильтр реализуется в виде звеньев второго порядка в случае комплексно-сопряженных корней, т.е. при
. (2.29)
В этом случае корни уравнения определяются следующим соотношением
.
Из последнего соотношения находим
.
Условием устойчивости звена является
.
Поэтому коэффициент A2 устойчивого звена второго порядка должен удовлетворять условию
. (2.30)
Из неравенств (2.29) и (3.30) следует неравенство для коэффициента A1 .
(2.31)
Заключение
Математическим аппаратом цифровой фильтрации является Z – преобразование. Знание трех основных свойств Z – преобразования (линейности, теоремы о задержки и о дискретной свертке) позволяет решать задачи анализа фильтра при известной схеме фильтра – графическом представлении алгоритма цифровой фильтрации.
Основные этапы анализа:
Выражение выходного сигнала фильтра через входной сигнал – запись разностного уравнения;
Выражение Z-преобразования выходного сигнала через Z – преобразование входного сигнала фильтра,
Определение системной функции фильтра ;
Определение зависимости комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты путем использования подстановки в выражение системной функции
Определение АЧХ фильтра
Определение ФЧХ фильтра
Определение
импульсной характеристики фильтра
путем нахождения обратного Z
– преобразования системной функции
фильтра.
Контрольные вопросы по теме №2:
Что такое импульсная характеристика цифрового фильтра?
На рисунке 2.40 показаны входной сигнал фильтра x n и его импульсная характеристика hn. Начертите временную диаграмму выходного сигнала фильтра yn.
Рисунок 2.40
Определите 4 отсчета импульсной характеристики h0, h1, h2, h3 цифрового фильтра рисунка 2.41, где A = -0.5
Рисунок 2.41
Что называется системной функцией цифрового фильтра?
Определите системную функцию цифрового фильтра рисунка 2.41.
Какая связь существует между импульсной характеристикой и системной функцией цифрового фильтра?
Выразите
Z-преобразование выходного
сигнала цифрового фильтра рисунка 2.
42
через Z –преобразование
входного сигнала
Рисунок 2.42
8. Выразите Z-преобразование выходного сигнала линии задержки рисунка 2.43 через Z-преобразование входного сигнала.
Рисунок 2.43
9. Выразите Z-преобразование выходного сигнала фильтра рисунка 2.44 через Z-преобразование входного сигнала.
Рисунок 2.44
10. На входе фильтра действует сигнал xn, а на выходе сигнал yn. Временные диаграммы этих сигналов приведены на рисунке 2.45. Определите системную функцию фильтра.
Рисунок 2.45
11. Системная функция цифрового фильтра определяется соотношением
.
Чему равен полюс системной функции фильтра?
12.
На рисунке 2.46 приведена импульсная
характеристика цифрового фильтра.
Какова системная функция фильтра?
Рисунок 2.46
13. Какова системная функция цифрового фильтра рисунка 2.47
Рисунок 2.47
14. Системная функция цифрового фильтра определяется соотношением
.
Чему равен нуль системной функции фильтра?
15. На входе фильтра (рисунок 2.48) действует сигнал xn (рисунок 2.49). Каков выходной сигнал фильтра при нулевых начальных условиях?
Рисунок 2.48 Рисунок 2.49
16. На рисунке 2.50 приведена импульсная характеристика цифрового фильтра. Выразите Z-преобразование выходного сигнала фильтра через Z-преобразование входного сигнала
Рисунок
2.
50
17. Каков коэффициент передачи фильтра (рисунок 2.51) на частоте, равной четверти частоты дискретизации?
Рисунок 2.51
18. Системная функция цифрового фильтра определяется соотношением
.
Чему равен коэффициент передачи фильтра на частоте f=0?
19. На входе цифровой линии задержки (рисунок 2.52) действует синусоидальный сигнал xn , частота которого равна одной восьмой частоты дискретизации. Чему равен фазовый сдвиг выходного сигнала yn относительно входного сигнал?
Рисунок 2.52
20. Какой из двух цифровых фильтров рисунка 2.53 обладает линейной ФЧХ?
Рисунок
2.
53
21. Системная функция цифрового фильтра определяется соотношением
.
Чему равен фазовый сдвиг, вносимый фильтром на частоте, равной четверти частоты дискретизации?
22. На входе цифровой цепи рисунка 2.54 действует синусоидальный сигнал с амплитудой, равной единице. Чему равна амплитуда выходного сигнала?
Рисунок 2.54
23. Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением
.
Сделайте вывод об устойчивости фильтра.
24 . Сделайте вывод об устойчивости фильтра рисунка 2.55 при A11= -0.5, A12= — 1.9.
Рисунок 2.55
25.
На рисунке 2.56 приведена импульсная
характеристика цифрового фильтра.
Сделайте заключение об устойчивости
фильтра
Рисунок 2.56
26. Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением
, где A1 = 0.1, А2 =0.9
Сделайте вывод об устойчивости фильтра.
27. Системная функция цифрового фильтра определяется соотношением
.
Сделайте вывод об устойчивости фильтра.
Контрольная карта ответов
Номер ответа соответствует номеру контрольного вопроса в предыдущем разделе.
2.
3. y0 = 1.000, y1= 0.500, y2 = 0.250, y3 = 0.125.
5.
7.
8.
9.
10.
11.
zп = 0.5
12.
13.
14. z0 = — 0.8
15. y0 = 1, y1 = 2, y2 =1
16.
17. K=2
18. K=0
19.
20. Рисунок 2.53 а
21.
22. Амплитуда выходного сигнала Y=1
23. Не устойчив
24. Не устойчив
25. Устойчив
26. Устойчив
27. Устойчив
Список литературы по теме №2:
1. В.Г.Иванова, А.И.Тяжев. Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры / Под редакцией д.т.н., профессора Тяжева А.И. — Самара, 2008г.
2.Куприянов
М.С., Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка
сигналов: процессоры, алгоритмы, средства
проектирования. –2-е изд., перераб.
и
доп.- СПб.: Политехника, 1999. –592с.:ил.
3.А.Б. Сергиенко. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2002.-2002.-608с.:ил.
4.А.И. Солонина, Д.А. Улахович, С.М. Арбузов, Е.Б. Соловьёва. Основы цифровой обработки сигналов.- Изд. 2-е испр. И перераб. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005.-768с.: ил.
5.Л. Рабинер, Б. Гоулд. Теория и применение цифровой обработки сигналов.- Издательство «Мир», 1978. –848с.,ил.
6.В. Каппелини, А.Дж.Константинидис, П.Эмилиани. Цифровые фильтры и их применение.- М.:Энергоатомиздат, 1983-360с.:ил.
7.Р.В. Хемминг. Цифровые фильтры. – М.: Сов. Радио, 1980-224с., ил.
55
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕВВЕДЕНИЕ Глава 1. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ § 1.1. Дискретные и цифровые сигналы § 1.2. Дискретные и цифровые фильтры § 1.3. Преимущества и недостатки цифровой обработки сигналов Глава 2.  ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ§ 2.1. Основы дискретизации непрерывных сигналов Спектры дискретизированных сигналов. Восстановление непрерывного сигнала. Погрешности дискретизации и восстановления сигнала. Дискретизация сигналов в спектральной области. Число степеней свободы сигнала. § 2.2. Квантование сигналов Аналого-цифровое преобразование. § 2.3. Устройства для дискретизации, квантования и восстановления непрерывных сигналов Сглаживающие фильтры. Глава 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ § 3.2. Дискретное преобразование Фурье § 3.3. Быстрое преобразование Фурье § 3.4. Дискретное преобразование Лапласа § 3.5. z-преобразование § 3.6. Обратное z-преобразование § 3.7. Основные свойства z-преобразования Глава 4. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ § 4.2. Важнейшие характеристики цифровых фильтров § 4.3. Частотные характеристики цифровых фильтров § 4.4. Формы реализации цифровых фильтров § 4.5. Основы синтеза цифровых фильтров Прямой синтез цифровых фильтров.  Методы синтеза фильтров с конечной импульсной характеристикой. § 4.6. Эффекты квантования в цифровых фильтрах Ошибки, вызываемые неточными значениями постоянных параметров фильтра. Ошибки, вызванные квантованием результатов вычислений. Предельные циклы низкого уровня. § 4.7. Вопросы реализации и применения цифровых фильтров ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1. Вывод формулы спектральной плотности дискретизированного сигнала Приложение 2. Примеры программ реализации некоторых алгоритмов на ЭЦВМ «МИР» ЛИТЕРАТУРА |
Первый шаг в знакомстве с цифровыми фильтрами — научиться говорить на языке, используемом в сфере фильтров.
К счастью, словарь цифровых фильтров довольно хорошо соответствует родному языку, используемому для непрерывных (аналоговых) фильтров, поэтому нам не нужно разучивать то, что мы уже знаем. Этот материал является введением в терминологию цифровых фильтров.
Фильтр Allpass – БИХ-фильтр, амплитудная характеристика которого равна единице во всем диапазоне частот, но фазовая характеристика которой является переменной. Всепроходные фильтры обычно добавляются каскадом после стандартного БИХ-фильтра h2(z), как показано на рисунке F-1.
Рисунок F-1 Типичное использование всепроходного фильтра.
Всепроходной фильтр Hap(z) может быть спроектирован таким образом, чтобы его фазовая характеристика компенсировала или выравнивала , нелинейная фазовая характеристика исходного БИХ-фильтра. [1]-[3] Таким образом, фазовая характеристика комбинированного фильтра Hcombined (z) является более линейной, чем исходная h2(z), и это особенно желательно в системах связи.
В этом контексте всепропускающий фильтр иногда называют фазовым эквалайзером .
Затухание – потеря амплитуды, обычно измеряемая в дБ, вносимая сигналом после прохождения через цифровой фильтр. Затухание фильтра — это отношение на данной частоте амплитуды сигнала на выходе фильтра к амплитуде сигнала на входе фильтра, определяемое как
| (Ф-1) |
Как обычно бывает, для заданной частоты выходная амплитуда фильтра меньше, чем входная амплитуда, поэтому соотношение в уравнении (F-1) меньше единицы, и затухание является отрицательным числом.
Фильтр подавления полос – фильтр, подавляющий (ослабляющий) одну полосу частот и пропускающий как нижнюю, так и верхнюю полосу частот. На рисунке F-2(a) показана частотная характеристика идеального режекторного фильтра. Этот тип фильтра иногда называют Режущий фильтр .
Рисунок F-2 Символы фильтра и частотные характеристики: (a) полосовой режекторный фильтр; (б) Полосовой фильтр.
Полосовой фильтр – Фильтр, показанный на рис. F-2(b), пропускающий одну полосу частот и ослабляющий частоты выше и ниже этой полосы.
Полоса пропускания – немногие термины в обработке сигналов имеют больше определений, чем этот. Мы определим полосу пропускания как ширину полосы пропускания фильтра. Для фильтра нижних частот полоса пропускания равна частоте среза. Для полосового фильтра полоса пропускания обычно определяется как разность частот между верхней и нижней точками -3 дБ.
Функция Бесселя – математическая функция, используемая для получения наиболее линейной фазовой характеристики среди всех БИХ-фильтров без учета амплитудно-частотной характеристики. В частности, конструкции фильтров на основе функций Бесселя имеют максимально постоянную групповую задержку.
(Моделирование функций Бесселя с помощью компьютерного программного обеспечения, не рекомендуется слабонервным, обычно приводит к значительному уроку смирения.)
Функция Баттерворта – математическая функция, используемая для получения максимально плоских откликов амплитуды фильтра без учета фазовой линейности. или вариации групповой задержки. Конструкции фильтров, основанные на функции Баттерворта, не имеют пульсаций амплитуды ни в полосе пропускания, ни в полосе задерживания. К сожалению, для данного порядка фильтров схемы Баттерворта имеют самую широкую область перехода наиболее популярных функций проектирования фильтров.
Каскадные фильтры – реализация системы фильтрации , в которой несколько отдельных фильтров соединены последовательно. То есть выход одного фильтра управляет входом следующего фильтра, как показано на рисунке F-1.
Центральная частота (fo) – частота, лежащая в средней точке полосового фильтра.
На рис. F-2(b) показана центральная частота полосового фильтра.
Функция Чебышева – математическая функция, используемая для создания пульсаций в полосе пропускания или полосе задержания, ограниченных фиксированными пределами. Существуют семейства функций Чебышева, основанные на количестве пульсаций, таких как 1 дБ, 2 дБ и 3 дБ пульсаций. Фильтры Чебышева могут иметь частотную характеристику с пульсациями в полосе пропускания и плоской полосой пропускания (тип Чебышева I) или плоской полосой пропускания и пульсациями в полосе задерживания (тип Чебышева II). Фильтры Чебышева не могут иметь пульсаций как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Цифровые фильтры, основанные на функциях Чебышева, имеют более крутой спад в переходной области, но более нелинейные фазовые характеристики, чем, скажем, фильтры Баттерворта.
Коэффициенты — См. Коэффициенты фильтра.
Частота среза – верхняя частота полосы пропускания для ФНЧ и нижняя частота полосы пропускания для ФВЧ.
Частота среза определяется точкой -3 дБ отклика амплитуды фильтра относительно пикового значения полосы пропускания. На рисунке F-3 показана частота среза fc фильтра нижних частот.
| Рисунок F-3 Частотная характеристика цифрового фильтра нижних частот. Относительная амплитуда полосы задерживания составляет -20 дБ. |
Децибелы (дБ) – логарифмическая единица ослабления или усиления, используемая для выражения относительного напряжения или мощности между двумя сигналами. Для фильтров мы используем децибелы для обозначения частот среза (-3 дБ) и уровней сигнала в полосе задерживания (-20 дБ), как показано на рисунке F-3.
Децимационный фильтр – цифровой КИХ-фильтр нижних частот, частота дискретизации на выходе которого меньше частоты дискретизации на входе фильтра. Во избежание проблем с наложением частот выходная частота дискретизации не должна нарушать критерий Найквиста.
Цифровой фильтр – вычислительный процесс или алгоритм, преобразующий дискретную последовательность чисел (вход) в другую дискретную последовательность чисел (выход), имеющую измененный спектр в частотной области. Цифровая фильтрация может быть в виде программной процедуры, работающей с данными, хранящимися в памяти компьютера, или может быть реализована с помощью специального цифрового оборудования.
Эллиптическая функция – математическая функция, используемая для получения максимально резкого спада для заданного количества отводов фильтра. Однако фильтры, разработанные с использованием эллиптических функций, также называемые Фильтры Кауэра имеют наихудшую фазовую линейность среди наиболее распространенных функций проектирования БИХ-фильтров. Пульсации в полосе пропускания и полосе задержания равны эллиптическим фильтрам.
Задержка огибающей – См. Групповая задержка.
Коэффициенты фильтра – набор констант, также называемых весами отводов , используемых для умножения на значения выборки задержанного сигнала в структуре цифрового фильтра.
Проектирование цифрового фильтра представляет собой упражнение по определению коэффициентов фильтра, которые обеспечат желаемую частотную характеристику фильтра. Для КИХ-фильтра коэффициенты фильтра по определению представляют собой импульсную характеристику фильтра.
Порядок фильтра – число, описывающее наибольшую степень в числителе или знаменателе передаточной функции z-области цифрового фильтра. Для КИХ-фильтров в передаточной функции нет знаменателя, а порядок фильтра — это просто количество отводов, используемых в структуре фильтра. Для БИХ-фильтров порядок фильтра равен количеству элементов задержки в структуре фильтра. Как правило, чем больше порядок фильтра, тем лучше частотная характеристика фильтра.
Фильтр с конечной импульсной характеристикой (FIR) — определяет класс цифровых фильтров, которые имеют только нули на плоскости z. Ключевым следствием этого является то, что КИХ-фильтры всегда стабильны и имеют линейную фазовую характеристику (пока коэффициенты фильтра симметричны).
Для заданного порядка фильтра КИХ-фильтры имеют гораздо более постепенный спад области перехода, чем цифровые БИХ-фильтры.
Отклик амплитуды частоты – описание в частотной области того, как фильтр взаимодействует с входными сигналами. Амплитудно-частотная характеристика на рисунке F-3 представляет собой кривую затухания фильтра (в дБ) в зависимости от частоты. С амплитудной характеристикой фильтра связана фазовая характеристика.
Групповая задержка — определяется как производная фазы фильтра по частоте, G = —D ø/D f или наклон кривой фазовой характеристики фильтра Hø(m). Концепция групповой задержки заслуживает дополнительного объяснения помимо простого определения. Для идеального фильтра фаза будет линейной, а групповая задержка будет постоянной. Групповая задержка, единицей измерения которой является время в секундах, также может рассматриваться как временная задержка распространения огибающей амплитудно-модулированного сигнала при его прохождении через цифровой фильтр.
(В этом контексте групповую задержку часто называют задержка огибающей .) Искажение групповой задержки возникает, когда сигналам на разных частотах требуется разное время для прохождения через фильтр. Если групповая задержка обозначена G, то отношение между групповой задержкой, приращением фазы D ø и приращением частоты D f равно
| (Ф-2) |
Если мы знаем фазовый сдвиг линейного фазового фильтра (D ø) в градусах/Гц или радианах/Гц, мы можем определить групповую задержку в секундах, используя
| (Ф-3) |
Чтобы продемонстрировать уравнение. (F-3) и проиллюстрируем эффект нелинейного фазового фильтра, давайте предположим, что мы оцифровали непрерывный сигнал, содержащий четыре частотных компонента, определенных как
| (Ф-4) |
То есть вход x(t) представляет собой сумму синусоид 1 Гц, 3 Гц, 5 Гц и 7 Гц, и его дискретное представление показано на рисунке F-4(a).
Если мы подадим дискретную последовательность, представляющую x(t), на вход идеального 4-отводного линейно-фазового цифрового КИХ-фильтра нижних частот с частотой среза более 7 Гц и фазовым сдвигом -0,25 рад/Гц, выходная последовательность фильтра будет такой, как показано на рисунке F-4(b).
Поскольку фазовый сдвиг фильтра составляет -0,25 рад/Гц, уравнение (F-3) говорит нам, что постоянная групповая задержка фильтра в секундах составляет
| (Ф-5) |
При постоянной групповой задержке 0,04 секунды входная синусоида 1 Гц задерживается на выходе фильтра на 0,25 рад, синусоида 3 Гц задерживается на 0,75 рад, синусоида 5 Гц на 1,25 рад и Синусоида 7 Гц на 1,75 радиан. Обратите внимание, что фильтр с линейной фазой (относительно частоты) дает на выходе просто сдвинутую во времени версию входного сигнала, как показано на рис. F-4(b). Величина временного сдвига равна групповой задержке 0,04 секунды.
Рисунок F-4(c), с другой стороны, показывает искаженную форму выходного сигнала, если фаза фильтра по какой-либо причине была нелинейной, так что фазовый сдвиг составлял 3,5 рад вместо идеальных 1,75 радиан при 7 Гц. Обратите внимание на искажение начала огибающей выходного сигнала на рис. F-4(c) по сравнению с рис. F-4(b).
| Рисунок F-4 Примеры ответа фильтра во временной области: (a) входная последовательность фильтра; (b) Выходная последовательность линейно-фазового фильтра, которая представляет собой сдвинутую во времени на 0,04 секунды копию входной последовательности; (c) Искаженная выходная последовательность из-за фильтра с нелинейной фазой. |
Дело в том, что если нужная информация содержится в огибающей сигнала, который мы пропускаем через фильтр, мы хотели бы, чтобы фаза полосы пропускания этого фильтра была как можно более линейной по отношению к частоте.
. Другими словами, мы бы предпочли, чтобы групповая задержка фильтра как можно меньше менялась в полосе пропускания.
Полуполосный фильтр — тип КИХ-фильтра, в котором переходная область находится в центре одной четверти частоты дискретизации, или fs/4. В частности, конец полосы пропускания и начало полосы задерживания одинаково разнесены по обе стороны от fs/4. Полуполосные фильтры часто используются при прореживающей фильтрации, потому что (почти) половина их коэффициентов во временной области равна нулю. Это означает, например, что вы можете достичь производительности КИХ-фильтра с M-отводами, заплатив только вычислительную цену (M+1)/2 + 1 умножения за выборку выходного сигнала фильтра.
Фильтр верхних частот – фильтр, пропускающий высокие частоты и ослабляющий низкие, как показано на Рисунке F-5(a).
| Рисунок F-5 Символы фильтра и частотные характеристики: (a) Фильтр верхних частот; (b) Фильтр нижних частот.  |
Все мы сталкивались с фильтрацией верхних частот в своих гостиных. Обратите внимание, что происходит, когда мы увеличиваем регулятор высоких частот (или уменьшаем регулятор низких частот) на наших домашних стереосистемах. Обычно плоская частотная характеристика аудиоусилителя меняется на своего рода аналоговый фильтр верхних частот, что дает нам резкость и четкость.0018 жестяной звук, поскольку акцентируются высокочастотные компоненты музыки.
Импульсная характеристика – выходная последовательность цифрового фильтра во временной области, когда вход представляет собой одиночный единичный отсчет (импульс), которому предшествуют и за которым следуют нулевые отсчеты. Используя, пожалуй, самый мощный принцип обработки сигналов, мы можем сказать, что частотная характеристика линейного цифрового фильтра может быть рассчитана путем дискретного преобразования Фурье импульсной характеристики фильтра во временной области.
[4]
Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) — определяет класс цифровых фильтров, которые могут иметь как нули, так и полюса на z-плоскости. Таким образом, стабильность БИХ-фильтров не гарантируется, и они почти всегда имеют нелинейные фазовые характеристики. Для заданного порядка фильтра (количество отводов обратной связи БИХ) фильтры БИХ имеют гораздо более крутой спад переходной области, чем фильтры КИХ.
Линейно-фазовый фильтр – фильтр, демонстрирующий постоянное изменение выходного фазового угла в зависимости от частоты. Результирующий график зависимости фазы фильтра от частоты представляет собой прямую линию. Таким образом, групповая задержка линейного фазового фильтра является постоянной величиной. Чтобы сохранить целостность своих информационных сигналов, линейная фаза является важным критерием для фильтров, используемых в системах связи.
Фильтр нижних частот – фильтр, который пропускает низкие частоты и ослабляет высокие частоты, как показано на рис.
F-5(b). Например, мы сталкиваемся с фильтрацией нижних частот, когда увеличиваем регулятор низких частот (или уменьшаем регулятор высоких частот) на наших домашних стереосистемах, что дает нам тусклый, приглушенный звук, поскольку низкочастотные компоненты музыки усиливаются. .
Режекторный фильтр — см. полосовой режекторный фильтр.
Полоса пропускания – диапазон частот, в котором фильтр пропускает энергию сигнала. Обычно определяется как диапазон частот, в котором частотная характеристика фильтра равна или превышает -3 дБ, как показано на рисунке F-3.
Неравномерность полосы пропускания – флуктуации или вариации амплитудно-частотной характеристики в пределах полосы пропускания фильтра. Неравномерность в полосе пропускания, измеренная в дБ, показана на рисунке F-6. (См. Пульсации.)
Рисунок F-6 Частотная характеристика цифрового фильтра нижних частот, показывающая пульсации в полосе пропускания и затухание в полосе задерживания. |
Фазовая характеристика – разность фаз на определенной частоте между входной синусоидой и выходной синусоидой фильтра на этой частоте. Фазовая характеристика, иногда называемая фазовая задержка обычно изображается кривой, показывающей фазовый сдвиг фильтра в зависимости от частоты.
Phase Wrapping — артефакт программных процедур арктангенса, используемый для расчета фазовых углов, который вызывает явные разрывы фазы. Когда истинный фазовый угол находится в диапазоне от -180° до -360°, некоторые программные процедуры автоматически преобразуют эти углы в эквивалентные им положительные углы в диапазоне от 0° до +180°.
Квадратурный фильтр – двухканальный цифровой фильтр, работающий со сложной последовательностью сигналов x(n), как показано на рис. F-7. Один фильтр работает с синфазными данными i(n), в то время как другой фильтр обрабатывает квадратурные данные сигнала q(n).
Квадратурная фильтрация обычно выполняется с использованием фильтров нижних частот для сложной последовательности i(n) + jq(n), спектр которой был переведен вниз так, что он находится в центре около 0 Гц.
| Рисунок F-7 Два фильтра нижних частот, используемые для реализации квадратурной фильтрации. |
Относительное затухание – затухание, измеренное относительно наибольшего значения магнитуды. Наибольшему уровню сигнала (минимальное затухание) обычно присваивается опорный уровень 0 дБ, как показано на рисунках F-3 и F-6, в результате чего все остальные точки амплитуды на кривой частотной характеристики имеют отрицательные значения в дБ.
Ripple – не имеет никакого отношения к недорогому алкогольному напитку. Пульсация относится к колебаниям (измеряемым в дБ) в полосе пропускания или полосе задержания кривой амплитудно-частотной характеристики фильтра.
Эллиптические фильтры и фильтры Чебышева имеют равномерные характеристики, поскольку их пульсации постоянны в полосах пропускания. Фильтры, производные Бесселя и Баттерворта, не имеют пульсаций в своих характеристиках полосы пропускания. Пульсации в отклике в полосе задержания иногда называют внеполосными пульсациями .
Спад – термин, используемый для описания крутизны или наклона отклика фильтра в области перехода от полосы пропускания к полосе задерживания. Можно сказать, что конкретный цифровой фильтр имеет спад 12 дБ/октава, что означает, что первая октава частоты fo или 2fo будет ослаблена на 12 дБ больше, чем затухание фильтра на частоте fo. Вторая октава, 4fo, будет ослаблена еще на 24 дБ и так далее.
Коэффициент формы — термин, используемый для количественной оценки крутизны спада фильтра. Коэффициент формы обычно определяется как отношение ширины полосы пропускания фильтра к ширине переходной области к ширине полосы пропускания.
Чем меньше значение коэффициента формы, тем круче спад фильтра. Для идеального фильтра с переходной областью нулевой ширины коэффициент формы равен единице. Термин «коэффициент формы» уже давно используется специалистами по радиочастотам для описания аналоговых фильтров, где они используют отношение полосы пропускания фильтра 60 дБ к его полосе пропускания 3 дБ.
Полоса задерживания – полоса частот, ослабленная цифровым фильтром. На рис. F-3 показана полоса задерживания фильтра нижних частот. Хотя затухание в полосе задерживания на рисунке F-3 составляет -20 дБ, не все фильтры имеют лепестки полосы задерживания одинаковой амплитуды. На рисунке F-6 показано, что затухание в полосе задерживания измеряется между пиковой амплитудой полосы пропускания и амплитудой наибольшего лепестка полосы задерживания.
Структура – высокопарный термин, используемый «профессионалами» DSP, относящийся к блок-схеме, показывающей, как реализован цифровой фильтр.
Структура рекурсивного фильтра представляет собой структуру, в которой имеет место обратная связь, и прошлые выходные отсчеты фильтра используются вместе с прошлыми входными отсчетами при расчете текущего выходного сигнала фильтра. БИХ-фильтры почти всегда реализуются с рекурсивными структурами фильтров. Нерекурсивная структура фильтра — это структура, в которой только прошлые входные выборки используются при вычислении текущего выходного сигнала фильтра. КИХ-фильтры почти всегда реализуются с нерекурсивными структурами фильтров.
Вес ответвлений – См. Коэффициенты фильтра
Функция Чебышева – См. Чебышев.
Передаточная функция – математическое выражение отношения выхода цифрового фильтра к входу фильтра. Зная передаточную функцию, мы можем определить частотную амплитуду и фазовые характеристики фильтра.
Переходная область – диапазон частот между полосой пропускания и полосой задерживания цифрового фильтра.
Рисунок F-3 иллюстрирует переходную область фильтра нижних частот. Переходную область иногда называют 9-й.0018 переходная полоса .
Поперечный фильтр — другое название для стандартных реализаций КИХ-фильтра, в которых входные выборки проходят через элементы задержки КИХ-фильтра.
Каталожные номера
[1] Л. Р. Рабинер и Б. Голд, Theory and Application of Digital Signal Processing , Prentice-Hall, Englewood Cliffs New Jersey, 1975, стр. 206, 273 и 288. [2] А. В. Оппенгейм и Р. В. Шафер, Discrete – Обработка сигнала времени , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1989, стр. 236 и 441. [3] Тимо И. Лааксо и др., «Разделение единичной задержки», Журнал обработки сигналов IEEE. , январь 1972 г., стр. 46. [4] Джон Пикерд, «Тестирование импульсного отклика позволяет одному тесту выполнять работу тысяч», EDN , 27 апреля 1995 г. Цифровой фильтр — это алгоритм или устройство, состоящее из цифрового умножителя, сумматора и блока задержки.
Функция цифрового фильтра заключается в выполнении арифметической обработки цифрового кода входного дискретного сигнала для достижения цели изменения спектра сигнала. Метод цифрового фильтра для фильтрации сигнала: использовать цифровой компьютер для обработки цифрового сигнала, а обработка заключается в расчете в соответствии с предварительно запрограммированной программой.
Каталог
Если вы используете компьютер общего назначения, вы можете в любой момент написать программу для обработки сигналов, но скорость обработки будет ниже. Если используется специальный компьютерный чип, представляющий собой интегральную схему, выполненную по расчетному методу, его можно обрабатывать, подключая сигнал. Скорость обработки очень высокая, но изменить функцию непросто. Если используется программируемый компьютерный чип, то машина может иметь ту функцию, в которую она загружена. Этот тип программируемого чипа имеет много преимуществ и является лучшим выбором для современных электронных продуктов.
Если вы обрабатываете аналоговые сигналы, вам необходимо добавить аналого-цифровой преобразователь и цифро-аналоговый преобразователь. Принцип работы цифрового фильтра показан на рисунке, а его ядром является процессор цифровых сигналов.
Принцип работы цифрового фильтра
Цифровой фильтр вычисляет сигнал в соответствии с программой для достижения цели фильтрации. Программируя память цифрового фильтра, можно реализовать различные функции фильтрации. Для цифровых фильтров добавление функций означает добавление программ, без добавления компонентов, не подверженных ошибкам компонентов, и обработку низкочастотных сигналов без увеличения размера микросхемы. Метод цифровой фильтрации может решить проблему ограничения аналоговых фильтров компонентами.
Термин «цифровой фильтр» появился в середине 1960-х годов. Благодаря развитию электронно-вычислительных технологий и крупномасштабных интегральных схем цифровые фильтры были реализованы с использованием компьютерного программного обеспечения или крупномасштабных интегрированных цифровых аппаратных средств в режиме реального времени.
Цифровой фильтр представляет собой дискретно-временную систему (по заданному алгоритму входной дискретно-временной сигнал (соответствующий цифровой частоте) преобразуется в требуемый выходной дискретно-временной сигнал специфического функционального устройства).
При использовании цифрового фильтра для обработки аналогового сигнала (соответствующего аналоговой частоте) входной аналоговый сигнал должен быть ограничен, дискретизирован и преобразован из аналогового в цифровой. Цифровой фильтр вводит цифровую частоту (2π*f/fs, f — частота аналогового сигнала, fs — частота дискретизации, обратите внимание, чтобы отличить ее от аналоговой частоты). Согласно теореме дискретизации Найквиста, чтобы избежать перекрытия спектра дискретизированного сигнала, цифровая частота должна быть меньше частоты сворачивания (ws/2=π). Частотная характеристика имеет периодическую характеристику повторения с интервалами 2π и симметрична по частоте сворачивания, то есть ω=π. Для получения аналогового сигнала выходной цифровой сигнал, обработанный цифровым фильтром, должен пройти цифро-аналоговое преобразование и сглаживание.
Цифровой фильтр обладает такими преимуществами, как высокая точность, высокая надежность, программируемые характеристики изменения или мультиплексирования, а также простота интеграции. Цифровые фильтры широко используются в обработке речевых сигналов, обработке сигналов изображений, обработке медико-биологических сигналов и других областях применения.
Цифровые фильтры можно разделить на одномерные, двумерные или многомерные цифровые фильтры в зависимости от размерности обрабатываемого сигнала. Сигнал, обработанный одномерным цифровым фильтром, представляет собой последовательность одномерных функций, таких как значение дискретизации временной функции. Сигнал, обработанный двумерным или многомерным цифровым фильтром, представляет собой последовательность двух или более переменных функций. Например, дискретный сигнал двумерного изображения представляет собой дискретные значения по координатам плоскости.
Цифровой фильтр
Одномерный фильтр Одномерный фильтр — это алгоритм или устройство, обрабатывающее последовательности одномерных цифровых сигналов.
Связь между последовательностью выходных сигналов y(n) линейного и стационарного одномерного цифрового фильтра и последовательностью входных сигналов x(n) описывается линейным разностным уравнением с постоянным коэффициентом:
Соответствующее Z -график передаточной функции домена 2, где ar и bk — коэффициенты цифрового фильтра, Z[y(n)] и Z[x(n)]
Это Z-преобразования последовательностей выходных и входных сигналов. Обратное Z-преобразование передаточной функции H(z) называется единичной импульсной характеристикой одномерного цифрового фильтра, то есть h(n)=Z-1[H(z)]. Последовательность выходных сигналов также может быть выражена как дискретная свертка последовательности входных сигналов x(n) и единичной импульсной характеристики h(n) цифрового фильтра
Если единичная импульсная характеристика h(n) цифрового фильтр имеет только конечное число ненулевых значений, он называется цифровым фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ).
Если единичная импульсная характеристика имеет бесконечное число ненулевых значений, она называется цифровым фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ).
Цифровой фильтр с конечной импульсной характеристикой обычно использует структуру нерекурсивного алгоритма, поэтому его также называют нерекурсивным цифровым фильтром. Цифровой фильтр с бесконечной импульсной характеристикой может использовать только структуру рекурсивного алгоритма, поэтому его также называют рекурсивным цифровым фильтром.
Двумерный фильтрДвумерные фильтры — это алгоритмы или устройства, обрабатывающие последовательности двумерных цифровых сигналов. Связь между выходным сигналом y(m,n) и входным сигналом x(m,n) линейного стационарного двумерного цифрового фильтра описывается линейными разностными уравнениями с постоянным коэффициентом и двумя переменными:
Соответствующая передаточная функция представляет собой формулу на рисунке ниже, где a b — коэффициент фильтрации, а Z [y (m, n)] и Z [x (m, n)] — двумерное Z-преобразование последовательности выходных и входных сигналов соответственно.
Двумерное обратное Z-преобразование h(m, n)=Z-1 [H(z1, z2]] передаточной функции H(z1, z2), называемое единичной импульсной характеристикой двумерного цифрового Выход y(m,n) также может быть выражен как двумерная дискретная свертка входной сигнальной последовательности x(m,n) и единичной импульсной характеристики h(m,n)
Единичная импульсная характеристика двумерного цифрового фильтра также делится на конечную импульсную характеристику и бесконечную импульсную характеристику. Двумерный цифровой фильтр с конечной импульсной характеристикой представляет собой нерекурсивную структуру алгоритма, поэтому его также называют двумерным нерекурсивным цифровым фильтром. Двумерный цифровой фильтр с бесконечной импульсной характеристикой представляет собой структуру рекурсивного алгоритма, поэтому его также называют двумерным рекурсивным цифровым фильтром.
Цифровой фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) Цифровой фильтр с бесконечной импульсной характеристикой — это цифровой фильтр, отклик которого на входной сигнал единичного импульса представляет собой бесконечную последовательность.
Его можно разделить на одномерный, двумерный или многомерный цифровой фильтр с бесконечной импульсной характеристикой.
Особенности
1.1 Замкнутая функция
Системная функция цифрового БИХ-фильтра может быть записана как замкнутая функция.
1.2 Цифровой БИХ-фильтр использует рекурсивную структуру
Цифровой БИХ-фильтр использует рекурсивную структуру, т. е. структура имеет петлю обратной связи. Структура операции БИХ-фильтра обычно состоит из основных операций, таких как задержка, умножение и сложение. Его можно объединить в четыре структурные формы: прямую, положительную, каскадную и параллельную, все с петлями обратной связи. Из-за процесса округления при расчете продолжают накапливаться ошибки, а иногда генерируются слабые паразитные колебания.
1.3 С помощью зрелых аналоговых фильтров
Цифровые БИХ-фильтры могут быть разработаны с помощью зрелых аналоговых фильтров, таких как фильтры Баттерворта, Чебышева и эллиптические фильтры.
Имеются готовые проектные данные или диаграммы для проверки, а проектная нагрузка относительно невелика. Требования к инструменту не высокие. При проектировании БИХ-цифрового фильтра мы сначала пишем формулу аналогового фильтра по индексу, а затем путем определенного преобразования формула аналогового фильтра преобразуется в формулу цифрового фильтра.
1.4 Необходимо добавить сеть калибровки фазы
Фазовую характеристику цифрового БИХ-фильтра контролировать непросто. Когда потребность в фазе высока, требуется сеть калибровки фазы.
Цифровой фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ)Единичная импульсная характеристика h(n) цифрового фильтра содержит только конечное число ненулевых отсчетов, что обозначается аббревиатурой КИХ. Его общая реализация представляет собой нерекурсивную структуру, поэтому его также называют нерекурсивным цифровым фильтром.
Цифровой фильтр с конечной импульсной характеристикой имеет стабильные характеристики и легко проектируется непосредственно в соответствии с техническими условиями импульсной характеристики; он может обеспечить симметричную импульсную характеристику при аппроксимации произвольных амплитудных характеристик; он может достигать строгих линейных фазовых характеристик.
Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров: Учеб. пособие для вузов. — М.: Высш. школа, 1982. — 109 с.